Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 500213
i

На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­на точка E так, что CE : EC1  =  1 : 2.

а)  Пусть точка F делит ребро BB1 в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны B1. До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BE и AC1 равен углу AC1F.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AC1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При­мем ребро куба за a. Тогда AC_1=a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . По­сколь­ку CE:EC_1=1:2, по­лу­ча­ем:

CE= дробь: чис­ли­тель: CC_1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби a

C_1E=CC_1 минус CE= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби a.

а)  Про­ве­дем пря­мую FC1 и за­ме­тим, что CE = FB1, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки BCE и C1FB1 равны. Тогда пря­мые BE и FС1 па­рал­лель­ны как сто­ро­ны рав­ных тре­уголь­ни­ков с двумя па­рал­лель­ны­ми сто­ро­на­ми. Таким об­ра­зом, угол между пря­мы­ми BE и AC1 равен углу между пря­мы­ми FС1 и AC1, то есть равен углу  AC1F (этот угол яв­ля­ет­ся ост­рым углом ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AC1F).

б)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке C_1FB_1 с пря­мым углом B_1 имеем:

C_1F=BE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BC в квад­ра­те плюс CE в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABF с пря­мым углом B имеем:

AF= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BF в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс C_1 конец ар­гу­мен­та E в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

В тре­уголь­ни­ке AC_1F по­лу­ча­ем:

AF в квад­ра­те =AC_1 в квад­ра­те плюс C_1F в квад­ра­те минус 2 умно­жить на ко­си­нус \angle AC_1F умно­жить на AC_1 умно­жить на C_1F,

от­ку­да

ко­си­нус \angle AC_1F= дробь: чис­ли­тель: AC_1 в квад­ра­те плюс C_1F в квад­ра­те минус AF в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на AC_1 умно­жить на C_1F конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3a в квад­ра­те плюс \dfrac10a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби минус \dfrac{13a в квад­ра­те 92 умно­жить на a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на \dfraca ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та 3 = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Тогда \angle AC_1F= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гом виде: \angle AC_1F= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 105 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби или \angle AC_1F= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби }.

 

Ответ: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: ЕГЭ 10.07.2012 по ма­те­ма­ти­ке. Вто­рая волна. Ва­ри­ант 501
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Куб, По­стро­е­ния в про­стран­стве, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь
Анастасия Михайловна 10.05.2016 21:37

Можно ли эту за­да­чу ещё ре­шить ме­то­дом ко­ор­ди­нат?

Константин Лавров

Можно.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026