Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507788
i

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 равна 8. Вы­со­та этой приз­мы равна 6.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, со­дер­жа­щая пря­мую AB1 и па­рал­лель­ная пря­мой CA1 про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра BC.

б)  Найти угол между пря­мы­ми CA1 и AB1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­стро­им тре­уголь­ную пря­мую приз­му до че­ты­рех­уголь­ной пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой ромб ABDC, со­став­лен­ный из двух рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.

По­лу­чен­ная приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мым па­рал­ле­ле­пи­пе­дом. По­это­му B_1D\parallel A_1C.

а)  Плос­кость AB_1D па­рал­лель­на пря­мой A_1C по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти. Диа­го­на­ли ромба ABDС пе­ре­се­ка­ют друг друга по­се­ре­ди­не, по­это­му плос­кость AB_1D про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра BC.

б)  B_1D\parallel A_1C, зна­чит, ис­ко­мый угол AB_1D. Рас­смот­рим ромб ABDC: пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию квад­ра­та его сто­ро­ны на синус угла ромба S_ABDC = 64 синус 60 гра­ду­сов=32 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . С дру­гой сто­ро­ны, пло­щадь ромба можно найти как по­лу­про­из­ве­де­ние длин его диа­го­на­лей: S_ABCD = дробь: чис­ли­тель: BC умно­жить на AD, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 4AD, сле­до­ва­тель­но, AD = 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AA_1B_1 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим: AB_1=10. Ана­ло­гич­но B_1D=10. Зна­чит, из рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

AB_1D, по­лу­ча­ем

\angleAB_1D=2 арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на AB_1 конец дроби =2 арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

При­ме­ча­ние 1.

Диа­го­наль ромба можно было найти по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABD.

 

При­ме­ча­ние 2.

Для на­хож­де­ния угла AB_1D можно при­ме­нить в тре­уголь­ни­ке AB_1D тео­ре­му ко­си­ну­сов:

AD в квад­ра­те =AB_1 в квад­ра­те плюс B_1D в квад­ра­те минус 2AB_1 умно­жить на B_1D умно­жить на ко­си­нус \angleAB_1D рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 64 умно­жить на 3=100 плюс 100 минус 2 умно­жить на 10 умно­жить на 10 умно­жить на ко­си­нус \angleAB_1D рав­но­силь­но ко­си­нус \angleAB_1D= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби ,

от­ку­да \angleAB_1D= арк­ко­си­нус 0,04.

 

Ответ: 2 арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби или арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 507788: 511492 Все

Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор стереометрии: По­стро­е­ния в про­стран­стве, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь
Анастасия Короваева (Кемерово) 02.03.2015 00:15

По­че­му мы не можем найти AD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра? тре­уголь­ник же пря­мо­уголь­ный по­лу­ча­ет­ся

Александр Иванов

Нет. Тре­уголь­ник ABD рав­но­бед­рен­ный с углом 120°

Арина Акопян 26.07.2015 11:37

От­ку­да вы взяли что угол ABD равен 120 гра­ду­сов

Константин Лавров

В ос­но­ва­нии ромб, со­став­лен­ный из двух рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026