Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Точка M — середина ребра BC, точка L — середина ребра AB.
а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.
б) Найдите угол между прямыми DM и CL.
а) Пусть MF прямая параллельная прямой CL и F — точка ее пересечения с AB. Тогда плоскость DMF параллельна прямой CL по признаку параллельности прямой и плоскости. Отрезок MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому 
Это и требовалось доказать.
б) Искомый угол между прямыми DM и CL равен углу DMF. Обозначим угол DMF буквой α. 
Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF:
Тогда 
и 
Подставляя числовые данные, получим:
откуда 
Ответ: 