Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.
а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.
б) Найдите угол между прямыми DM и CL.
а) Пусть MF прямая параллельная прямой CL и F точка ее пересечения с AB. Тогда плоскость DMF параллельна прямой CL по признаку параллельности прямой и плоскости. MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому 
Это и требовалось доказать.
б) Искомый угол между прямыми DM и CL равен углу DMF. Обозначим угол DMF буквой α. 
Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF:
и 
поэтому, подставляя числовые данные, получим:
Откуда 
Ответ: 