Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N, так что AM = NM = NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN пересекает сторону CD в точке Q.
а) Докажите, что площадь четырехугольника BPDQ равна площади треугольника ADC.
б) Найдите BD, если известно, что 
и около пятиугольника PMNQD можно описать окружность.
а) Пусть диагонали ромба пересекаются в точке O. Так как 
и 
а поскольку отрезок AO является медианой треугольника ABD, точка M является точкой пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, отрезок BP также является медианой и 
Аналогично в треугольнике CBD получаем равенство 
Медиана делит треугольник на два равновеликих, тогда верны равенства:
Таким образом,
б) Пусть 
Из условия следует, что 
Произведения длин отрезков секущих, проведённых из одной точки к окружности, равны и не зависят от выбора секущей, поэтому 
Отсюда:
В прямоугольном треугольнике AOD по теореме Пифагора:
Тогда 
Ответ: 