Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию си­ну­са:

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра

Длина век­то­ра равна:

Ответ: 29.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды в два раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­та у них общая. По­это­му

Ответ: 75.

Ре­ше­ние. Всего на­со­сов  из них 18 не­ис­прав­ны, по­это­му ве­ро­ят­ность слу­чай­но вы­брать не­ис­прав­ный насос равна

Ответ: 0,006.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность про­ма­ха по ми­ше­ни равна 1 − 0,6  =  0,4. Тогда ве­ро­ят­ность того, что стре­лок попадёт в две пер­вые ми­ше­ни и не попадёт в две по­след­ние, равна

Ответ: 0,0576.

Ре­ше­ние. Воз­ведём в квад­рат обе части урав­не­ния:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. По свой­ствам сте­пе­ней имеем:

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. По­ло­жи­тель­ным зна­че­ни­ям про­из­вод­ной со­от­вет­ству­ет ин­тер­ва­лы, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет. На них лежат точки Таких точек 5.

Ответ:5.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния м/с при из­вест­ных зна­че­ни­ях м/с  — ско­ро­сти звука в воде и МГц  — ча­сто­ты ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов:

Ответ: 453.

Ре­ше­ние. Чтобы найти сред­нюю ско­рость на про­тя­же­нии пути, нужно весь путь раз­де­лить на все время дви­же­ния. Сред­няя ско­рость равна:

Ответ: 55.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем, что Тогда

Зна­чит, Найдём зна­че­ние

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: 17.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что функ­ция имеет раз­рыв при x  =  0 и ее зна­че­ние в точке ми­ни­му­ма (при x  =  −17) боль­ше, чем зна­че­ние в точке мак­си­му­ма (при x  =  17).

Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  За­ме­тим, что

Зна­чит, в ука­зан­ный от­ре­зок по­па­да­ет толь­ко ко­рень 2.

Ответ: а)  б)  2.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Точка O  — центр грани A₁B₁C₁D₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁. Се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стя­ми AOB и BOC яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ни­ка­ми, сто­ро­ны AB и BC этих се­че­ний в 3 раза мень­ше со­от­вет­ствен­ных боль­ших сто­рон се­че­ний.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой A₁C и плос­ко­стью BOC.

а)  Плос­кость BOC пе­ре­се­ка­ет грань A₁B₁C₁D₁ по пря­мой, па­рал­лель­ной пря­мой BC. Сле­до­ва­тель­но, эта плос­кость про­хо­дит через се­ре­ди­ны ребер A₁B₁ и C₁D₁  — точки K и M со­от­вет­ствен­но. Ана­ло­гич­но плос­кость AOB про­хо­дит через се­ре­ди­ны ребер B₁C₁ и A₁D₁  — точки L и N. Пусть и тогда и и Из рав­ных по двум ка­те­там пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков BB₁K и BB₁L по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Это и озна­ча­ет тре­бу­е­мое.

б)  Пусть пря­мые AA₁ и BK пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Про­ве­дем в тре­уголь­ни­ке A₁KP вы­со­ту A₁H. Про­ек­ция пря­мой A₁H на плос­кость A₁B₁C₁ есть пря­мая AB, а тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые A₁H и KM пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пря­мые A₁H и BK пер­пен­ди­ку­ляр­ны по по­стро­е­нию. Зна­чит, по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая A₁H пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BCO, и угол A₁CH  — ис­ко­мый.

Тре­уголь­ни­ки A₁PK и B₁BK равны по ка­те­ту и остро­му углу. Из пунк­та а) сле­ду­ет, что В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе, равна про­из­ве­де­нию длин ка­те­тов, де­лен­но­му на длину ги­по­те­ну­зы:

Квад­рат длины диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов длин трех его из­ме­ре­ний, от­ку­да

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка A₁CH на­хо­дим:

то есть

Ответ: б) 

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

а)  Пусть точки M, L, P, Q  — се­ре­ди­ны ребер A₁B₁, D₁C₁, B₁C₁ и A₁D₁ со­от­вет­ствен­но. Пря­мая ML па­рал­лель­на пря­мой CB, а пря­мая PQ  — пря­мой AB. Пусть По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ков BMB₁ и PBB₁ по­лу­ча­ем:

то есть по­это­му че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — квад­рат по опре­де­ле­нию.

б)  Пусть Из пунк­та а) из­вест­но, что Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда в вы­бран­ной си­сте­ме от­сче­та верны сле­ду­ю­щие ко­ор­ди­на­ты:

Урав­не­ние плос­ко­сти BOC имеет вид по­сколь­ку она про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат. Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты точек С и O, на­хо­дим:

По­ла­гая на­хо­дим нор­маль к плос­ко­сти BOC:

Пусть угол φ  — ис­ко­мый, тогда

и по­то­му

Ре­ше­ние. Пусть тогда:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной и по­лу­чим

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку при­быль фирмы со­став­ля­ет

Эта ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной функ­ци­ей от Q, а её мак­си­мум до­сти­га­ет­ся при Зна­чит, общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет равна руб­лей. Эта ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной функ­ци­ей от t, а её мак­си­мум до­сти­га­ет­ся при

Ответ: 7000.

Ре­ше­ние. а)  Пусть диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Так как и то Зна­чит, а по­сколь­ку от­ре­зок AO яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка ABD, точка M яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан этого тре­уголь­ни­ка. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок BP также яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке CBD по­лу­ча­ем ра­вен­ство Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких, тогда верны ра­вен­ства:

Таким об­ра­зом,

б)  Пусть Из усло­вия сле­ду­ет, что Про­из­ве­де­ния длин от­рез­ков се­ку­щих, про­ведённых из одной точки к окруж­но­сти, равны и не за­ви­сят от вы­бо­ра се­ку­щей, по­это­му От­сю­да:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

По­это­му ис­ход­ная си­сте­ма рав­но­силь­на сме­шан­ной си­сте­ме

По­лу­чен­ная сме­шан­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния в том и толь­ко в том слу­чае, когда пря­мые имеет с гра­фи­ком си­сте­мы

ровно две общие точки. Пря­мые, со­от­вет­ству­ю­щие гра­ни­цам этих слу­ча­ев, про­ну­ме­ро­ва­ны на ри­сун­ке чис­ла­ми от 1 до 5. Ис­ко­мы­ми зна­че­ни­я­ми па­ра­мет­ра яв­ля­ют­ся

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 4. Разобьём ис­ход­ные числа на две груп­пы: в пер­вой груп­пе все «5», во вто­рой  — все «3» и «4». Тогда

б)  Пусть числа раз­би­ты на две груп­пы по 12 чисел в каж­дой; сумма чисел в пер­вой груп­пе равна S₁, а во вто­рой груп­пе  — S₂. Тогда

что равно сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му всех чисел.

в)  Если в каж­дой из двух групп ко­ли­че­ство «3» равно ко­ли­че­ству «5», то

В про­ти­во­по­лож­ном слу­чае в одной из групп ко­ли­че­ство «3» боль­ше ко­ли­че­ства «5». Зна­чит, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в этой груп­пе мень­ше 4. Можно счи­тать, что это вер­ная груп­па. Среди дро­бей, мень­ших 4, зна­ме­на­тель ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 23, наи­боль­шая дробь  — это то есть А не пре­вос­хо­дит Оче­вид­но, что В не может быть боль­ше 5. Зна­чит,

Если в одной груп­пе одна «5», а в дру­гой все осталь­ные числа, то

Ответ: а)  на­при­мер, в пер­вой груп­пе все «5», во вто­рой  — все «3» и «4»; в)