Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что 
а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны МN, если LA = 3.
Решение.
Спрятать критерии
а) Пусть точка H — точка касания окружности со стороной LM. Точка O — центр окружности, значит, отрезок LO — биссектриса угла KLM и отрезок NO — биссектриса угла KNM. Отсюда:
Тогда 
следовательно, точки L, O и A лежат на одной прямой.
б) В прямоугольном треугольнике LAM 
Тогда 
поэтому угол ONA равен 45°. Следовательно, треугольник ONA — равнобедренный и 
Таким образом, 
Ответ: 
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в четырехугольник