В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла, АМ и СN — биссектрисы треугольников ACH и ВСН соответственно.
а) Докажите, что прямые АМ и СN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка МN, если ВС = 21 и 
а) Продолжим биссектрису AM до пересечения со стороной CB в точке K. Пусть 
тогда 
По свойству прямоугольного треугольника 
Треугольник CHB прямоугольный, 
тогда 
Так как 
в треугольнике ACK имеем 
тогда прямые AM и CN перпендикулярны.
б) В треугольнике ACN отрезок AK является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник ACN — равнобедренный, 
Таким образом, прямая AK является серединным перпендикуляром к стороне CN, а значит, 
Аналогично: отрезок CK — биссектриса и высота в треугольнике MCT, следовательно, треугольник является равнобедренным и 
Воспользуемся свойством биссектрисы для треугольника ABC:
Таким образом, 
Получаем 
Ответ: б) 6.