В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла, АМ и СN — биссектрисы треугольников ACH и ВСН соответственно.
а) Докажите, что прямые АМ и СN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка МN, если ВС = 21 и 
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла, АМ и СN — биссектрисы треугольников ACH и ВСН соответственно.
а) Докажите, что прямые АМ и СN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка МN, если ВС = 20 и 
а) Достроим прямую AM до пересечения с прямой CM в точке K. Пусть 
тогда 
По свойству прямоугольного треугольника 
Треугольник CHB прямоугольный, 
тогда 
поэтому в треугольнике ACK имеем 
тогда прямые AM и CN перпендикулярны.
б) Заметим, что в треугольнике ACN отрезок AK является биссектрисой и высотой, а значит, треугольник ACN равнобедренный. Тогда CK = KN. Таким образом, отрезок AK является серединным перпендикуляром к стороне CN, а значит, CM = MN. Аналогично прямая CK — биссектриса и высота в треугольнике MCT, следовательно, треугольник является равнобедренным и CM = CT.
Воспользуемся свойством биссектрисы для треугольника ABC:
Таким образом, СТ = 5, TB = 15. Получаем, MN = CT = CM = 5.
Ответ: б) 5.