В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 3, а боковое ребро SA равно 5. На ребре AC отмечена точка M, а на продолжении ребра BC за точку C — точка N так, что CM = CN = 1.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью SNM является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью SNM.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На ребре AC отмечена точка M, а на продолжении ребра BC за точку C — точка N так, что CM = CN = 2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью SNM является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью SNM.
а) Пусть прямая MN пересекает ребро AB в точке K. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KM:
откуда AK = 2 и KB = 4. Заметим далее, что углы ACS и BAS равны, а также AK = CM = 2, AS = CS из условия. Следовательно, треугольники ASK и CSM равны, а потому равны и отрезки SK и SM. Таким образом, искомое сечение — треугольник SKM — является равнобедренным по определению.
б) По теореме косинусов в равнобедренному треугольнике SAB:
Аналогично для треугольников SMC и AKM получаем:
Высоту SH треугольника найдем по теореме Пифагора для треугольника SHM:
Наконец, найдем площадь сечения:
Ответ: 
