Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

левая круг­лая скоб­ка |x минус a в квад­ра­те | плюс |x плюс 1| пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 7 левая круг­лая скоб­ка |x минус a в квад­ра­те | плюс |x плюс 1| пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4a в квад­ра­те плюс 4 = 0

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t = |x минус a в квад­ра­те | плюс |x плюс 1| , тогда t в квад­ра­те минус 7t плюс левая круг­лая скоб­ка 4a в квад­ра­те плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0. Рас­кро­ем мо­ду­ли:

t левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = |x минус a в квад­ра­те | плюс |x плюс 1| рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус x плюс a в квад­ра­те минус x минус 1, при x мень­ше или равно минус 1, минус x плюс a в квад­ра­те плюс x плюс 1, при минус 1 мень­ше x мень­ше a в квад­ра­те , x минус a в квад­ра­те плюс x плюс 1, при x боль­ше или равно a в квад­ра­те конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 2x плюс a в квад­ра­те минус 1, при x мень­ше или равно минус 1, a в квад­ра­те плюс 1, при минус 1 мень­ше x мень­ше a в квад­ра­те , 2x минус a в квад­ра­те плюс 1, при x боль­ше или равно a в квад­ра­те . конец си­сте­мы .

По­стро­им гра­фик функ­ции t. За­ме­тим, что зна­че­ния t мень­ше a в квад­ра­те плюс 1 не дают ре­ше­ний ис­ход­но­го урав­не­ния, зна­че­ние t = a в квад­ра­те плюс 1 дает бес­ко­неч­но много ре­ше­ний, а каж­дое зна­че­ние t боль­ше a в квад­ра­те плюс 1 дает два ре­ше­ния ис­ход­но­го урав­не­ния.

Чтобы ис­ход­ное урав­не­ние имело два ре­ше­ния, квад­рат­ное урав­не­ние t в квад­ра­те минус 7 t плюс левая круг­лая скоб­ка 4a в квад­ра­те плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 долж­но иметь либо два раз­лич­ных корня, ле­жа­щих по раз­ные сто­ро­ны от числа a в квад­ра­те плюс 1, либо долж­но иметь един­ствен­ное ре­ше­ние, боль­шее чем a в квад­ра­те плюс 1. Рас­смот­рим эти слу­чаи.

Слу­чай 1. Функ­ция f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = t в квад­ра­те минус 7 t плюс левая круг­лая скоб­ка 4a в квад­ра­те плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка за­да­ет на плос­ко­сти па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, по­это­му урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 имеет два раз­лич­ных корня, ле­жа­щих по раз­ные сто­ро­ны от числа a в квад­ра­те плюс 1, тогда и толь­ко тогда, когда зна­че­ние функ­ции f в точке t=a в квад­ра­те плюс 1 от­ри­ца­тель­но:

левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 7 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4a в квад­ра­те плюс 4 мень­ше 0 рав­но­силь­но a в сте­пе­ни 4 плюс 2a в квад­ра­те плюс 1 минус 7a в квад­ра­те минус 7 плюс 4a в квад­ра­те плюс 4 мень­ше 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но a в сте­пе­ни 4 минус a в квад­ра­те минус 2 мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше a в квад­ра­те мень­ше 2 рав­но­силь­но минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше a мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Слу­чай 2. Урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, боль­шее чем a в квад­ра­те плюс 1, если и толь­ко если вы­пол­не­на си­сте­ма усло­вий D = 0 и t_верш. боль­ше a в квад­ра­те плюс 1. Имеем:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 49 минус 16a в квад­ра­те минус 16 = 0, минус дробь: чис­ли­тель: минус 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше a в квад­ра­те плюс 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 16a в квад­ра­те = 33, a в квад­ра­те мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 33, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , a в квад­ра­те мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но a в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 33, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби рав­но­силь­но a = \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Объ­еди­няя по­лу­чен­ные в двух слу­ча­ях зна­че­ния, по­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 681200: 681192 681254 681316 ... Все

Источники:
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Ком­би­на­ция пря­мых
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025