В треугольнике ABC угол ACB равен 30°, отрезки AH и AM — высота и медиана соответственно, причем точка H лежит на отрезке BM. Отрезок MQ — высота треугольника AMC, а прямые AH и MQ пересекаются в точке F. Известно, что AM — биссектриса угла CAH.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника CMF, если AB = 8.
а) Прямоугольные треугольники AQM и AHM равны, поскольку имеют общую гипотенузу и равные острые углы. Следовательно, 
как соответственные элементы равных фигур. В прямоугольном треугольнике MQC один из острых углов равен 30°, значит, катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Не ограничивая общности, положим 
а 
По свойству биссектрисы 
откуда 
и 
Далее, 
а из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим: 
Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
б) В треугольнике ABC катет AB лежит против угла в 30°, а потому он вдвое меньше гипотенузы, откуда 
и 
Квадрат катета в прямоугольном треугольнике равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Значит, 
откуда
Следовательно, 
Заметим, что треугольники FHM и CQM равны, поскольку 
и углы QMC и HMF равны как вертикальные. Отсюда 
а по теореме Пифагора в треугольнике FHM:
Итак, искомая площадь равна
Ответ: 