В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AD. Най­ди­те угол ABD, если угол BAD равен 35° и угол ACB равен 40°.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 3 спортс­ме­на из Ма­ке­до­нии, 8 спортс­ме­нов из Сер­бии, 3 спортс­ме­на из Хор­ва­тии и 6  — из Сло­ве­нии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Сер­бии.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов про­ис­хо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,25. Такая же ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру во вто­ром ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе». Ве­ро­ят­ность того, что кофе к ве­че­ру за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,15. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ве­че­ру кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем Ско­рость (в км/ч) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь (в км). Най­ди­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­едет ав­то­мо­биль к мо­мен­ту, когда он раз­го­нит­ся до ско­ро­сти 90 км/ч.

Бай­дар­ка в 10:00 вышла из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный в 15 км от А. Про­быв в пунк­те В 1 час 20 минут, бай­дар­ка от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт А в 16:00 того же дня. Опре­де­ли­те (в км/ч) соб­ствен­ную ско­рость бай­дар­ки, если из­вест­но, что ско­рость те­че­ния реки 2 км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD из­вест­но, что AB  =  2. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B и D.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость α делит ребро SC, счи­тая от вер­ши­ны S, если пло­щадь се­че­ния равна 

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 18 мил­ли­о­нов руб­лей на 36 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом опла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2029 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно r, если общая сумма пла­те­жей в 2027 году со­ста­ви­ла 7830 тысяч руб­лей?

В четырёхуголь­ник KLMN впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Эта окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны MN в точке A. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка А лежит на пря­мой LO.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны МN, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

На доске за­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Одно из за­пи­сан­ных чисел равно 30 032.

а)  Может ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел быть число 312?

б)  Может ли от­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел рав­нять­ся 6?

в)  От­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел яв­ля­ет­ся целым чис­лом n. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.