Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 681317
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

левая круг­лая скоб­ка |x минус 8| минус |x минус a| пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 7a левая круг­лая скоб­ка |x минус 8| минус |x минус a| пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 10a в квад­ра­те плюс 6a минус 4 = 0

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t=|x минус 8| минус |x минус a|, тогда:

t в квад­ра­те минус 7a t плюс 10a в квад­ра­те плюс 6a минус 4 = 0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 5a минус 2 плюс 2a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка t плюс левая круг­лая скоб­ка 5a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=5a минус 2, t=2a плюс 2. конец со­во­куп­но­сти .

Про­ана­ли­зи­ру­ем вве­ден­ную за­ме­ну.

При a=8 по­лу­ча­ем t=|x минус 8| минус |x минус 8|=0, тогда по­лу­ча­ем не­вер­ные ра­вен­ства

0=5 умно­жить на 8 минус 2,

0=2 умно­жить на 8 плюс 2,

зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние не имеет ре­ше­ний при a=8.

При a боль­ше 8 по­лу­ча­ем t левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = си­сте­ма вы­ра­же­ний a минус 8, при x боль­ше a, 2x минус 8 минус a, при 8 мень­ше или равно x мень­ше или равно a, 8 минус a, при x мень­ше 8. конец си­сте­мы . Чтобы ис­ход­ное урав­не­ние имело ровно два раз­лич­ных корня не­об­хо­ди­мо, чтобы вы­пол­ня­лось двой­ное не­ра­вен­ство

8 минус a мень­ше 5a минус 2 мень­ше a минус 8 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 6a боль­ше 6, 4a мень­ше минус 6 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 1, a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы .

По­лу­чен­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние не может иметь ровно два ре­ше­ния при a боль­ше 8.

 

При a мень­ше 8 по­лу­ча­ем t левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = си­сте­ма вы­ра­же­ний a минус 8, при x боль­ше 8, минус 2x плюс 8 плюс a, при a мень­ше или равно x мень­ше или равно 8, 8 минус a, при x мень­ше a. конец си­сте­мы . Чтобы ис­ход­ное урав­не­ние имело ровно два раз­лич­ных корня не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лась си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний a минус 8 мень­ше 5a минус 2 мень­ше 8 минус a, a минус 8 мень­ше 2a плюс 2 мень­ше 8 минус a, 5a минус 2 не равно 2a плюс 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4a боль­ше минус 6, 6a мень­ше 10 , a боль­ше минус 10 , 3a мень­ше 6 , a не равно дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , a боль­ше минус 10 , a мень­ше 2 , a не равно дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ные зна­че­ния удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a мень­ше 8, зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 505474: 505496 635867 635969 ... Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 27.05.2025. Ос­нов­ная волна. Раз­ные го­ро­да
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с мо­ду­ля­ми, Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026