Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 681313
i

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD c ост­рым углом BAD из вер­ши­ны B про­ве­де­ны вы­со­ты BP и BQ, при­чем точка P лежит на сто­ро­не AD, а точка Q  — на сто­ро­не CD. На сто­ро­не AD от­ме­че­на точка M. Из­вест­но, что AM  =  BP, AB  =  BQ.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  PQ.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ, если AM  =  BP  =  21, AB  =  BQ  =  29.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть угол ABP равен α. Тогда \angle BAP = \angle BCQ = 90 гра­ду­сов минус альфа . Зна­чит, угол CBQ равен α и угол PBQ равен  90 гра­ду­сов минус альфа . Тре­уголь­ни­ки ABM и BQP равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, по­это­му от­ре­зок BM равен от­рез­ку PQ.

б)  При­ве­дем пря­мую QH па­рал­лель­но пря­мой DP. Тогда тре­уголь­ник ABP равен тре­уголь­ни­ку BQH по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­чим:

AP = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус BP в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 в квад­ра­те минус 21 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 20.

От­ре­зок BH равен от­рез­ку AP, по­это­му HP = BP минус BH = 1. Вы­со­та тре­уголь­ни­ка APQ, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны Q, равна от­рез­ку HP. Таким об­ра­зом, пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ равна

S_APQ = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AP умно­жить на HP = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 20 умно­жить на 1 = 10.

Ответ: б)  10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 681262: 681313 685388 Все

Источники:
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026