Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 630161

Есть четыре коробки: в первой коробке 121 камень, во второй — 122, в третьей — 123, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 121 камней, во второй — 122, в третье — 119, а в четвёртой — 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 366 камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Можно, например, сделать такие действия

 левая круглая скобка 121,122,123,0 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 120,121,122,3 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 119,120,121,6 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 122,119,120,5 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 121,122,119,4 правая круглая скобка .

б) Если в одной коробке окажется 366 камней, то остальные будут пусты. Однако нетрудно видеть, что в коробках 1 и 2 количества камней каждый ход меняют четность, поэтому всегда остаются разной четности и не могут оба стать нулями.

в) Можно получить 363 камня, действуя так

 левая круглая скобка 121,122,123,0 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 120,121,122,3 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 119,120,121,6 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 90,91,92,93 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 93,90,91,92 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 96,89,90,91 правая круглая скобка \mapsto\ldots левая круглая скобка 363,0,1,2 правая круглая скобка .

Больше сделать нельзя. Действительно, начальные количества камней давали разные остатки от деления на 4, и это свойство сохранится, поскольку от каждого количества вычитают 1, а потом к одному прибавляют 4. Значит, минимум 0 плюс 1 плюс 2 камня не попадут в первую коробку, что дает оценку 121 плюс 122 плюс 123 минус 0 минус 1 минус 2=363 камня.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 363.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в3
Получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен2
Получен верный обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованный ответ в пункте б1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 630125: 630161 Все

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 321, Задания 18 ЕГЭ–2022