Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Вариант № 45395139

Задания 18 ЕГЭ–2022

1.

Каждое из четырёх подряд идущих натуральных чисел разделили на их первые цифры и результаты сложили в сумму S.

а) Может ли быть S= целая часть: 41, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 24 ?

б) Может ли быть S= целая часть: 569, дробная часть: числитель: 29, знаменатель: 72 ?

в) Найдите наибольшее целое S, если все четыре числа лежат в отрезке от 400 до 999 включительно.

2.

Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а

затем четыре полученных результата сложили.

а) Может ли полученная сумма равняться 386?

б) Может ли полученная сумма равняться 9,125?

в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 699?

3.

Каждое из четырех последовательных натуральных чисел, последняя цифра которых не равна нулю, разделили на его последнюю цифру. Полученные результаты сложили и назвали S. Тогда:

а) может ли S= целая часть: 16, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 6 ?

б) может ли S= целая часть: 369, дробная часть: числитель: 29, знаменатель: 126 ?

в) если числа были трехзначные, то какое наибольшее целое значение S могло получиться?

4.

По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли N быть равным 280?

б) Может ли N быть равным 149?

в) Найдите наибольшее значение N.

5.

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третье — 103, а в четвёртой — 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

6.

Есть четыре коробки: в первой коробке 121 камень, во второй — 122, в третьей — 123, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 121 камней, во второй — 122, в третье — 119, а в четвёртой — 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 366 камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

7.

Имеются три коробки: в первой — 97 камней, во второй — 104 камня, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.

а) Может ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 89, в третьей  — 15?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 201 камень?

в) Известно, что в первой коробке 1 камень. Найдите наибольшее возможное количество камней в третьей коробке.

8.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

9.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 201?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 251?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 600 до 999 включительно?

10.

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?

б) Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?

в) Найдите наибольшее значение N.

11.

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 159. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 28, 29 и 30?

б) Среди написанных на доске чисел есть 13. Может ли N быть равно 20?

в) Найдите наибольшее значение N.

12.

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 27. Для каждых двух написанных чисел a и b таких, что a меньше b ни одно из написанных чисел не делится на b – a и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 4, 5, 6?

б) Среди написанных на доске чисел есть 5. Может ли N быть равным 7?

в) Найдите наибольшее значение N.

13.

У ювелира есть 38 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трем кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причем n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.

а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?

б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 108 граммов?

в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.

14.

У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трем кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причем n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.

а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?

б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 105 граммов?

в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.

15.

На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,32 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,32, то получится целое число).

а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?

б) Могло ли на доске быть написано меньше 20 чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.