Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 630200

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 27. Для каждых двух написанных чисел a и b таких, что a меньше b ни одно из написанных чисел не делится на b – a и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 4, 5, 6?

б) Среди написанных на доске чисел есть 5. Может ли N быть равным 7?

в) Найдите наибольшее значение N.

Спрятать решение

Решение.

a) Если на доске написаны два числа, идущие подряд, то любое число делится на их разность, равную 1. Если на доске написаны числа 4 и 6, то каждое из этих чисел делится на их разность, равную 2. Значит, никакие два из чисел 4, 5 и 6 не могли быть написаны на доске одновременно.

б) Если на доске написано 7 чисел, то хотя бы два из них дают одинаковый остаток при делении на 5. Значит, разность этих чисел делится на 5. Следовательно, N не может быть равным 7.

в) Предположим, что N больше или равно 10. Если на доске есть число a меньше или равно 9, то хотя бы два из написанных на доске чисел дают одинаковый остаток при делении на a, но тогда их разность делится на a. Значит, каждое из чисел, написанных на доске, больше 9. Среди любых N больше или равно 10 различных чисел от 10 до 27 найдётся два, идущих подряд. Разность этих чисел равна 1, и на неё делится любое число, написанное на доске. Получаем противоречие. Следовательно, N меньше или равно 9.

Покажем, что N может быть равным 9. Пусть на доске написаны числа:

11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27.

Разность любых двух из этих чисел чётная, а значит, ни одно из написанных на доске чисел не делится на неё. С другой стороны, каждая из таких разностей не превосходит 16. Следовательно, любой нечётный делитель такой разности не превосходит 7. Таким образом, построенный пример удовлетворяет условию задачи.

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 630132: 630168 630200 Все

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 991, Задания 18 ЕГЭ–2022