Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 630700

У ювелира есть 38 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трем кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причем n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.

а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?

б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 108 граммов?

в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Возьмем в первую группу 1 камень весом 10 000 г, во вторую 2 камня весом по 3000 г, в третью 35 камней по 100 г. Условия будут выполнены.

б) Нет. Допустим мы построили такой пример. Ясно, что

n_1 меньше дробь: числитель: 38, знаменатель: 3 конец дроби = целая часть: 12, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 ,

следовательно, n_1 меньше или равно 12 и n_3 больше дробь: числитель: 38, знаменатель: 3 конец дроби = целая часть: 12, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 , откуда n_3 больше или равно 13. Значит,

S_1 меньше или равно 12 умножить на 108=1296 меньше 1300=100 умножить на 13 меньше или равно S_3.

в) Для начала заметим, что n_3 больше или равно n_2 плюс 1 больше или равно n_1 плюс 2, откуда

38=n_1 плюс n_2 плюс n_3 больше или равно n_1 плюс n_1 плюс 1 плюс n_1 плюс 2=3n_1 плюс 3.

Итак, 38 больше или равно 3n_1 плюс 3, то есть n_1 меньше или равно 11. Аналогично n_1 меньше или равно n_2 минус 1 меньше или равно n_3 минус 2, откуда

38=n_1 плюс n_2 плюс n_3 меньше или равно n_3 минус 2 плюс n_3 минус 1 плюс n_3=3n_3 минус 3,

то есть 38 меньше или равно 3n_3 минус 3 и n_3 больше или равно 14.

Значит, S_3 больше или равно 100 умножить на 14=1400 и S_1 меньше или равно 11 умножить на k=11k. При этом S_1 больше или равно S_2 плюс 1 больше или равно S_3 плюс 2, поэтому 11k больше или равно 1402 или k больше или равно целая часть: 127, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 11 . Итак, наименьшее возможное k это 128.

Приведем пример для найденного k. В третьей группе будут 14 камней, все они весят по 100г, значит, S_3=1400. В первой группе будут 11 камней, все они весят по 128г, тогда S_1=1408. Во второй группе будут 13 камней, все они весят по 108 граммов, следовательно, S_2=1404.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 128.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а);

— обоснованное решение пункта б);

— искомая оценка в пункте в);

— пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 630707: 630700 Все

Источник: ЕГЭ по математике 27.06.2022. Резервная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 502, Задания 18 ЕГЭ–2022