Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.
а) Заметим, что MN — средняя линия трапеции по определению, значит,
Пусть 
тогда 
а 
По свойству вписанного в окружность четырехугольника, 
Угол PQN является смежным с ним, значит, 
Поскольку сумма углов PMN и PQN равна 180°, около четырехугольника PQNM можно описать окружность.
б) Требуется найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника MPQ. Эта окружность описана и вокруг четырехугольника PQNM, а значит, и вокруг треугольника MPN. Найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника MPN. Для этого воспользуемся обобщенной теоремой синусов: 
Найдем PN. По условию, треугольник CDP является прямоугольным, CN = ND, значит, PN является медианой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Поэтому 
Найдем синус угла α. Проведём высоты трапеции BH и CK. Пусть АН = x. Поскольку высоты, проведенные из точек В и С к основанию AD, равны, можно составить уравнение
Из прямоугольного треугольника AНB по теореме Пифагора находим:
тогда
Окончательно имеем:
Ответ: б) 