Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — трапеция.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4.
а) Пусть прямая КМ — общая касательная двух окружностей, причём точка M лежит на отрезке AB. Тогда по свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, 
Углы AKD и BKC прямые, поэтому AD и BC — диаметры первой и второй окружностей соответственно. Значит, неравные отрезки AD и BC перпендикулярны касательной АB, следовательно, они параллельны. Таким образом, четырёхугольник ABCD — трапеция.
б) Пусть точки О и Q — центры первой и второй окружностей соответственно, а точки E и H — проекции точек О и D соответственно на прямую BC. Тогда в прямоугольном треугольнике OEQ:
В прямоугольном треугольнике DCH:
В прямоугольном треугольнике BDH:
По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника BDC, равен
Ответ: б) 