Применение производной к исследованию функций
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
На рисунке изображен график производной функции 
, определенной на интервале 
Найдите промежутки возрастания функции 
В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] функция f(x) принимает наибольшее значение?
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Аналоги к заданию № 119971: 119981 120215 521988 522088 522964 525720 525739 119983 119985 119987 ... Все
На рисунке изображён график 
- производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?
Аналоги к заданию № 317541: 317745 509194 513618 516292 516325 317747 317749 317751 317753 317755 ... Все
производная положительна(видно из графика), функция возрастает (получено путём рассуждений)На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: 
,
В скольких из этих точек функция убывает?
: точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательны. Таких точек 5.Аналоги к заданию № 317542: 317845 514180 516374 516394 317847 317849 317851 317853 317855 317857 ... Все
На рисунке изображен график функции 
и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Аналоги к заданию № 317544: 318045 318139 318047 318049 318051 318053 318055 318057 318059 318061 ... Все
На рисунке изображён график функции у = f'(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).
На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
Функция
определена на промежутке 
На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: 
, 
, 
, 
, В скольких из этих точек производная функции положительна?
возрастает. На них лежат точки 
Таких точек 4.Аналоги к заданию № 317539: 317545 509014 509151 510485 510505 513338 513359 317547 317549 317551 ... Все
функция убывает, производная отрицательнаНа рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , 
В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
убывает. В этих интервалах лежат точки 
Таких точек 7.Аналоги к заданию № 317540: 317739 505463 509834 510064 317645 317647 317649 317651 317653 317655 ... Все
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Аналоги к заданию № 317543: 318039 525062 525090 317945 317947 317949 317951 317953 317955 317957 ... Все
Пройти тестирование по этим заданиям
Здравствуйте! Как я понимаю, в точке х=2 производная равна нулю, следовательно, это точка минимума, то есть число 2 не включается в интервал, и тогда сумма равна 3+4+5=12
Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки присоединяются как к промежуткам возрастания, так и к промежуткам убывания, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.
Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.
Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции
— все они возрастают на отрезке 
Автор прав,но...
Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке [a;b]. Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.
Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.
Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) - входят.
Учитывая, что первая часть ЕГЭ для "средней группы детского сада", то наверное такие нюансы- перебор.
Отдельно, большое спасибо за "Решу ЕГЭ" всем сотрудникам- отличное пособие.
Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.
Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу. Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.
В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.
В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.
Противоречия нет.
Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.
Коллеги, есть понятие возрастания в точке
(см. Фихтенгольц например)
и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.
Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.
В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.
Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.
Коллега.
Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.
В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке [2; 6) функция возрастает.
После нахождения промежутков просят найти какие целые числа попадают в эти промежутки.
В условии и в решении не идёт речи о возрастании в точке.
Речь в задании о промежутках возрастания.