По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство

Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение имеет 10 решений.

Ответ: 10.

Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции Поэтому

Ответ:7.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках и

Имеем:

Приведем другое решение.

Получим явное выражение для Поскольку

имеем:

Примечание.

Внимательный читатель отметит, что второй подход эквивалентен выделению полного куба:

что позволяет сразу же найти

Еще один способ рассуждений покажем на примере следующей задачи.

Ответ:6.

Найдем формулу, задающую функцию график которой изображён на рисунке.

Следовательно, график функции получен сдвигом графика функции на единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:

Ответ: 4.

Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.

Определенный интеграл от функции по отрезку дает значение площади подграфика функции на отрезке. Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь которого и прямоугольник, площадь которого Сумма этих площадей дает искомый интеграл

Ответ:12.