Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
На рисунке изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции 
Поэтому
Ответ: 7.
Примечание Д. Д. Гущина.
В связи с возникающими у учителей вопросами приведем аналитическое решение; излишне громоздкое для данной задачи, но раскрывающее смысл констант в записи неопределенного интеграла. Разобраться в нем будет полезно и ученикам, желающим глубже понять тему.
Пользуясь данным в условии графиком, запишем функцию в виде
Запишем выражение для первообразной:
Заметим, что первообразная является дифференцируемой, а потому и непрерывной функцией в каждой точке своей области определения. Следовательно, непрерывной в точке 3. Поэтому выражения для первообразных в точке 3 должны быть равными. Подставим 
в уравнение
получим:
откуда 
Следовательно,
Пока найдена непрерывная функция F, которая является первообразной функции f на луче 
и на полуинтервале 
Осталось изучить дифференцируемость F в точке 3. Найдем левостороннюю и правостороннюю производные:
Левосторонняя производная F в точке 3 равна правосторонней, а потому 
Теперь можно утверждать, что функция F является первообразной для f на всей области определения. Для ответа на вопрос задачи осталось найти разность значений первообразной в точках 8 и 2:
Ответ: 7.
Замечание. Отметим дополнительно, что левосторонняя и правосторонняя производные производные определяются как
Если положить в первой из этих формул 
а во второй — 
то соответственно: 
и 
откуда следуют более удобные для вычислений формулы:
которые были использованы выше в решении.
Пытливый читатель мог бы заинтересоваться тем, как «склеены» между собой ветви графика найденной первообразной в точке с абсциссой 3. Говоря более формально, необходимо узнать, каков угол между касательными лучами к ветвям графика функции f, проведенными в их общей точке. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим функции 
и 
Из приведенных выше рассуждений следует, что 
и 
Но система уравнений
есть условие касания графиков функций f и g в точке x0. Итак, для любого значения константы С1 прямая 
является касательной к параболе 
Более простой способ показать касание не связан с производной. Покажем, что прямая 
является касательной к параболе 
в точке 3. Действительно, уравнение 
то есть уравнение 
имеет ровно один корень, равный 3, а значит, для любого значения С эти прямая и парабола имеют единственную общую точку — точку касания.
Отметим дополнительно, что задания указанного типа должны быть знакомы учителям, например, по известной книге Галицкого М. Л., Мошковича М. М., Шварцбурда С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа (Москва, 1982): см. задание 4 из интересной, кстати, и самой по себе контрольной работы для 10 (11) класса с углубленным изучением математики.
Более простая задача приводится с решением в пособии Саакяна С. М. и др. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11 классов: необходимо найти общий вид первообразных функции 
К сожалению, приведенное авторами решение (см. ниже) нельзя признать полностью удовлетворительным, поскольку в нем не проверяется дифференцируемость найденной первообразной в точке 1. Предостерегаем читателя от этой ошибки.
Из более новых работ рекомендуем обратиться к учебнику М. Я. Пратусевича и др. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, стр. 96. В этом учебнике вопрос о первообразной функции 
разобран полностью без упущений.
где 
где 
— одна из первообразных функции 
где 
где 
где 
где 
где 
где 
где 
где 
где 
где 
где 
где 
где 
