Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 6 № 323079

На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция F(x)=x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 302x минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби  — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Спрятать решение

Решение.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках  минус 9 и  минус 11.

Имеем:

F( минус 9)=( минус 9) в кубе плюс 30 умножить на ( минус 9) в квадрате плюс 302 умножить на ( минус 9) минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус 729 плюс 2430 минус 2718 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус целая часть: 1018, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 .

F( минус 11)=( минус 11) в кубе плюс 30 умножить на ( минус 11) в квадрате плюс 302 умножить на ( минус 11) минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус 1331 плюс 3630 минус 3322 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = минус целая часть: 1024, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 .

F( минус 9) минус F( минус 11)= минус целая часть: 1018, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 плюс целая часть: 1024, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 =6.

Приведем другое решение.

Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:

F(x)=x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 302x минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби =(x плюс 10) в кубе плюс 2x минус 1000 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби ,

что позволяет сразу же найти

F( минус 9) минус F( минус 11) = ( минус 9 плюс 10) в кубе плюс 2 умножить на ( минус 9) минус (( минус 11 плюс 10) в кубе плюс 2 умножить на ( минус 11)) = 1 минус 18 минус ( минус 1 минус 22) = 6.

Приведем ещё одно решение.

Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:

F( минус 9) минус F( минус 11)=
= левая круглая скобка ( минус 9) в кубе плюс 30 умножить на ( минус 9) в квадрате плюс 302 умножить на ( минус 9) минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка минус левая круглая скобка ( минус 11) в кубе плюс 30 умножить на ( минус 11) в квадрате плюс 302 умножить на ( минус 11) минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка =

= ( минус 9) в кубе минус ( минус 11) в кубе минус 30 умножить на (( минус 9) в квадрате минус ( минус 11) в квадрате ) плюс 302 умножить на (( минус 9) минус ( минус 11)) =
= 11 в кубе минус 9 в кубе минус 30 умножить на (11 в квадрате минус 9 в квадрате ) плюс 302 умножить на (11 минус 9) =

 

 = (11 минус 9)(11 в квадрате плюс 11 умножить на 9 плюс 9 в квадрате ) минус 30 умножить на (11 минус 9)(11 плюс 9) плюс 302 умножить на 2 = 2 умножить на 301 минус 30 умножить на 40 плюс 604 = 1206 минус 1200=6.

 

Приведем ещё одно решение.

Получим явное выражение для  f(x). Поскольку

f(x)=F'(x)=3x в квадрате плюс 60x плюс 302=3(x в квадрате плюс 20x плюс 100) плюс 2=3(x плюс 10) в квадрате плюс 2,

имеем:

\[\left. принадлежит t\limits_ минус 11 в степени ( минус 9) (3(x плюс 10) в квадрате плюс 2)dx=((x плюс 10) в кубе плюс 2x) |_ минус 11 в степени ( минус 9) =1 минус ( минус 1) плюс 2( минус 9 минус ( минус 11))=2 плюс 4=6.\]

Примечание.

Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции f(x)=3(x плюс 10) в квадрате плюс 2 получен сдвигом графика функции y=3x в квадрате плюс 2 на 10 единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции y=3x в квадрате плюс 2 и отрезком [ минус 1;1] оси абсцисс. Имеем:

S= принадлежит t\limits_ минус 1 в степени (1) (3x в квадрате плюс 2)dx=2 принадлежит t\limits_0 в степени (1) (3x в квадрате плюс 2)dx=\left. 2(x в кубе плюс 2x) |_0 в степени (1) =2(1 плюс 2) минус 0=6.

 

Ответ:6.