ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 8 № 323080 Добавить в вариант

На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в кубе минус 27x в квадрате минус 240x минус 8$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Спрятать решение

Решение.

Найдем формулу, задающую функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ график которой изображён на рисунке.

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =F' левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 3x в квадрате минус 54x минус 240= минус 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 18x правая круглая скобка минус 240=3 минус 3 левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка в квадрате .$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =F' левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 3x в квадрате минус 54x минус 240=$
$= минус 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 18x правая круглая скобка минус 240=3 минус 3 левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка в квадрате .$

Следовательно, график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ получен сдвигом графика функции $y=3 минус 3x в квадрате$ на $9$ единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=3 минус 3x в квадрате$ и отрезком $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка$ оси абсцисс. Имеем:

$S= принадлежит t пределы: от минус 1 до 1, левая круглая скобка 3 минус 3x в квадрате правая круглая скобка dx=2 принадлежит t пределы: от 0 до 1, левая круглая скобка 3 минус 3x в квадрате правая круглая скобка dx= 2 левая круглая скобка 3x минус x в кубе правая круглая скобка |_0 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =2 левая круглая скобка 3 минус 1 правая круглая скобка минус 0=4.$ $S= принадлежит t пределы: от минус 1 до 1, левая круглая скобка 3 минус 3x в квадрате правая круглая скобка dx=2 принадлежит t пределы: от 0 до 1, левая круглая скобка 3 минус 3x в квадрате правая круглая скобка dx=$
$= 2 левая круглая скобка 3x минус x в кубе правая круглая скобка |_0 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =2 левая круглая скобка 3 минус 1 правая круглая скобка минус 0=4.$

Ответ: 4.

Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

4.3.1 Первообразные элементарных функций;

4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Спрятать решение · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Раиса Овчинникова (Архангельск) 01.12.2013 17:20

Ошибки, конечно, нет, но при таком подходе (сдвиг функции) гораздо легче найти уравнение параболы, проходящей через точки (-1;0), (0;3) и (1;0), а потом вычислить интеграл.

Служба поддержки

Во-первых, до того как была вычислена производная, мы не знали, является ли изображенный на рисунке график параболой. Во-вторых, на наш взгляд, выделить полный квадрат проще, чем решать систему уравнений с тремя переменными.

Раиса Овчинникова (Архангельск) 13.12.2013 22:33

Но ведь ясно, что если первообразная — многочлен третьей степени, то производная — многочлен второй степени.

Служба поддержки

Согласны, если это объяснено, то всё в порядке.

Vladimir Lanin 12.02.2014 16:27

Ошибки, конечно, нет. Но надо ли так подробно решать? Есть первообразная, есть границы интегрирования... S=F(-8)-F(-10)=4

Александр Иванов

В конце решения есть фраза "Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи" со ссылкой. Там есть разные варианты решения