В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 58°, AD и BE  — бис­сек­три­сы, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Две сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка ABCD равны 6 и 8. Най­ди­те длину раз­но­сти век­то­ров и

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3.

На эк­за­мен вы­не­се­но 60 во­про­сов, Ан­дрей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос.

Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −2x − 11 или сов­па­да­ет с ней.

Ка­мень бро­шен вер­ти­каль­но вверх. Пока ка­мень не упал, вы­со­та, на ко­то­рой он на­хо­дит­ся, опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой где h  — вы­со­та в мет­рах, t  — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд ка­мень на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее 9 мет­ров?

Че­ты­ре оди­на­ко­вые ру­баш­ки де­шев­ле курт­ки на 8%. На сколь­ко про­цен­тов пять таких же ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки B.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S. Точка M рас­по­ло­же­на на SD так, что SM : SD  =  2 : 3. P  — се­ре­ди­на ребра AD, а Q  — се­ре­ди­на ребра BC.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MQP  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость MQP раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 31% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

— с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга, рав­ную 69 690 821 рубль.

Сколь­ко руб­лей было взято в банке, если из­вест­но, что он был пол­но­стью по­га­шен тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за три года)?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой  — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 1 и 4.

Опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

Вася и Петя ре­ша­ли за­да­чи из сбор­ни­ка, и они оба ре­ши­ли все за­да­чи этого сбор­ни­ка. Каж­дый день Вася решал на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий день, а Петя решал на две за­да­чи боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Они на­ча­ли ре­шать за­да­чи в один день, при этом в пер­вый день каж­дый из них решил хотя бы одну за­да­чу.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что Вася в пер­вый день решил на одну за­да­чу мень­ше, чем Петя, а Петя решил все за­да­чи из сбор­ни­ка ровно за 5 дней?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что Вася в пер­вый день решил на одну за­да­чу боль­ше, чем Петя, а Петя решил все за­да­чи из сбор­ни­ка ровно за 4 дня?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство задач могло быть в сбор­ни­ке если каж­дый из ребят решал за­да­чи более 6 дней, при­чем в пер­вый день один из маль­чи­ков решил на одну за­да­чу боль­ше чем дру­гой?