ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 511283 Добавить в вариант

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Спрятать решение

Решение.

Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма $\Phi,$ которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 3 лет, составляет $\Phi= дробь: числитель: Sq в кубе , знаменатель: q в квадрате плюс q плюс 1 конец дроби ,$ откуда $S= дробь: числитель: \Phi умножить на левая круглая скобка q в квадрате плюс q плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: q в кубе конец дроби .$

Заметим, что 69 690 821 кратно $1,31 в кубе .$ Действительно, $69690821:1,31=53199100;$

$53199100:1,31=40610000;$ $40610000:1,31=31000000.$

$S= дробь: числитель: 69690821 умножить на левая круглая скобка 1,31 в квадрате плюс 1,31 плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 1,31 в кубе конец дроби =31000000 умножить на 4,0261=40261 умножить на 3100=124809100.$ $S= дробь: числитель: 69690821 умножить на левая круглая скобка 1,31 в квадрате плюс 1,31 плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 1,31 в кубе конец дроби =$
$=31000000 умножить на 4,0261=40261 умножить на 3100=124809100.$ $S= дробь: числитель: 69690821 умножить на левая круглая скобка 1,31 в квадрате плюс 1,31 плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 1,31 в кубе конец дроби =$
$=31000000 умножить на 4,0261=$
$=40261 умножить на 3100=124809100.$

Ответ: 124 809 100 рублей.

Замечания.

1.  В мировой практике существует и работает два способа (схемы) погашения кредитов: дифференцированная, при которой периодический платеж включает постоянную сумма для погашения основного долга по кредиту, к которой прибавляются проценты на оставшуюся часть долга, и аннуитетная при которой долг гасится равными платежами, как в условии данной задачи.

2.  При аннуитетной схеме, как правило, бывает кратным $q в степени n$ либо фиксированная сумма, которую клиент обязан вносить в отчетный период, либо сумма взятого кредита. Возможен случай, когда та или другая сумма, указанная выше, кратна $q в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс q в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс ... плюс q плюс 1.$

3.  Прежде чем приступить к решению задачи, лучше проверить ожидаемые кратности, что облегчит дальнейшие вычисления.

Приведём другое решение.

Заметим, что ежегодный платеж равен 69 690 821  =  31 000 000 · 1,31³.

Если искомая сумма составляет x рублей, то:

Периоды	Долг клиента (рублей)
Периоды	в начале отчетного периода с учетом возрастания долга	частичное погашение	остаток к концу периода после частичного погашения
Первоначальный	x	—	x
I год	1,31x	31000000 · 1,31³	$1,31x минус 1,31 в кубе умножить на 31000000=$ $=1,31 умножить на левая круглая скобка x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 правая круглая скобка$
II год	$1,31 в квадрате левая круглая скобка x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 правая круглая скобка$	31000000 · 1,31³	$1,31 в квадрате левая круглая скобка x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 правая круглая скобка минус 1,31 в кубе умножить на 31000000 правая круглая скобка =$ $=1,31 в квадрате левая круглая скобка x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 минус 1,31 умножить на 31000000 правая круглая скобка$
III год	$1,31 в кубе левая круглая скобка x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 минус$ $минус 1,31 умножить на 31000000 правая круглая скобка$	31000000 · 1,31³	$1,31 в кубе левая круглая скобка x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 минус 1,31 умножить на 31000000 правая круглая скобка минус 1,31 в кубе умножить на 31000000=$ $=1,31 в кубе левая круглая скобка x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 минус 1,31 умножить на 31000000 минус 31000000 правая круглая скобка =0$

Решение уравнения:

$1,31 в кубе левая круглая скобка x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 минус 1,31 умножить на 31000000 минус 31000000 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 минус 1,31 умножить на 31000000 минус 31000000=0 равносильно$

$равносильно x=1,31 в квадрате умножить на 31000000 плюс 1,31 умножить на 31000000 плюс 31000000 равносильно x=31000000 умножить на левая круглая скобка 1,31 в квадрате плюс 1,31 плюс 1 правая круглая скобка равносильно$ $равносильно x=1,31 в квадрате умножить на 31000000 плюс 1,31 умножить на 31000000 плюс 31000000 равносильно$
$равносильно x=31000000 умножить на левая круглая скобка 1,31 в квадрате плюс 1,31 плюс 1 правая круглая скобка равносильно$

$x=3100 умножить на 10000 умножить на левая круглая скобка 1,7161 плюс 2,31 правая круглая скобка равносильно x=3100 умножить на 10000 умножить на 4,0261 равносильно$
$равносильно x=31 умножить на 40261 умножить на 100 равносильно x = 124 809 100.$ $x=3100 умножить на 10000 умножить на левая круглая скобка 1,7161 плюс 2,31 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно x=3100 умножить на 10000 умножить на 4,0261 равносильно$
$равносильно x=31 умножить на 40261 умножить на 100 равносильно x = 124 809 100.$

Ответ: 124 809 100 рублей.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 131

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь