PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC угол C равен 58°, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Решение. Рассмотрим угол AOB в треугольнике AOB:
Ответ: 119.
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов
и 
Решение. Разность векторов и 
равна вектору 
Вектор 
делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Следовательно, по теореме Пифагора получаем:
Ответ: 10.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
правильной шестиугольной призмы 
площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Решение. Многогранник, объем которого требуется найти, является прямой треугольной призмой. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Основанием призмы является треугольник. Площадь правильного шестиугольника в основании равна
площадь треугольника ABC равна
Следовательно, площадь треугольника ABC равна одной шестой площади основания шестиугольной призмы. Высотой прямой призмы является боковое ребро, его длина 
Ответ: 3.
На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.
Решение. Андрей выучил 60 − 3 = 57 вопросов. Поэтому вероятность того, что на экзамене ему попадется выученный вопрос, равна
Ответ: 0,95.
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».
События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность
откуда, используя данные из условия, получаем
Таким образом, для искомой вероятности имеем:
Ответ: 0,08.
Решите уравнение 
Решение. Используем формулы квадрата суммы и разности:
Ответ: −6.
Найдите значение выражения 
Решение. Используем формулу косинуса двойного угла 
:
Ответ: 5.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.
Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны −2. Найдем количество точек, в которых
это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.
Ответ: 5.
Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой 
где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее
Решение. Определим моменты времени, когда камень находился на высоте ровно 9 метров. Для этого решим уравнение 
:
Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи камень брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени 
(с)
(с)
Ответ: 2,4.
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
Решение. Стоимость четырех рубашек составляет 92% стоимости куртки. Значит, стоимость одной рубашки составляет 23% стоимости куртки. Поэтому стоимость пяти рубашек составляет 115% стоимости куртки. Это превышает стоимость куртки на 15%.
Ответ: 15.
На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках
Решение. График функции пересекает ось ординат в точке 
Значит, график 
изображен синим цветом, а график 
— оранжевым. Найдем формулу, задающее функцию g. При изменении абсциссы точки вершины графика на 1 ед. ордината увеличивается на 1 ед. Следовательно, 
Абсцисса вершины параболы 
поэтому 
Парабола пересекает ось ординат в точке (0; −1), поэтому 
Таким образом, 
Теперь найдём абсциссу
Ордината точки B равна 
Ответ: 62.
Приведем другое решение.
По рисунку определяем, что g(−3) = 2, g(−1) = −2, g(2) = 7. Тогда
Решая полученную систему, получаем: a = 1, b = 2. Из условия g(2) = 7 определяем, что c = −1. Теперь найдём абсциссу точки B:
Тогда ордината точки B равна
Ответ: 62.
Найдите точку максимума функции 
Решение. Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума 
Ответ: −4.
а) Решите уравнение: 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде 
При 
уравнение не имеет корней. При 
уравнение принимает вид:
Оба корня удовлетворяют условию 
б) Заметим, что 
Значит, указанному отрезку принадлежит корень x = 2.
Ответ: а) 2; 5; б) 2.
Примечание.
Приведём другое решение пункта а):
Дано уравнение Пусть 
тогда 
Получаем
Вернёмся к исходной переменной:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q — середина ребра BC.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
Решение. а) Пусть плоскость MPQ пересекает SC в точке N. PD = CQ,
поэтому PDCQ — параллелограмм, 
поэтому 
Тогда 
то есть 
Так как 
и 
так как пирамида правильная, то 
следовательно, 
Поскольку 
и 
то MNQP — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что 
расстояние от точки M до плоскости ABC втрое меньше расстояния от точки S до плоскости ABC. Тогда 
По теореме об отношении площадей треугольников с равными углами 
расстояние от точки D до плоскости SBC в 1,5 раза больше, чем от точки M. Значит, 
из чего следует, что 
тогда 
Ответ: б) 
Примечание.
Обратим внимание читателей на то, что в условии указано отношение SM : SD, а не отношение SM : MD. Если SM : SD = 2 : 3, то MD : SD = 1 : 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
тогда неравенство примет вид:
При 
получим: 
откуда 
При 
получим: 
откуда 
При 
получим: 
откуда 
Решение исходного неравенства: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение. Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма 
которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 
откуда 
Заметим, что 69 690 821 кратно 
Действительно, 
Ответ: 124 809 100 рублей.
Замечания.
1. В мировой практике существует и работает два способа (схемы) погашения кредитов: дифференцированная, при которой периодический платеж включает постоянную сумма для погашения основного долга по кредиту, к которой прибавляются проценты на оставшуюся часть долга, и аннуитетная при которой долг гасится равными платежами, как в условии данной задачи.
2. При аннуитетной схеме, как правило, бывает кратным 
либо фиксированная сумма, которую клиент обязан вносить в отчетный период, либо сумма взятого кредита. Возможен случай, когда та или другая сумма, указанная выше, кратна 
3. Прежде чем приступить к решению задачи, лучше проверить ожидаемые кратности, что облегчит дальнейшие вычисления.
Приведём другое решение.
Заметим, что ежегодный платеж равен 69 690 821 = 31 000 000 · 1,313.
Если искомая сумма составляет x рублей, то:
| Периоды | Долг клиента (рублей) | ||
|---|---|---|---|
| в начале отчетного периода с учетом возрастания долга | частичное погашение | остаток к концу периода после частичного погашения | |
| Первоначальный | x | — | x |
| I год | 1,31x | 31000000 · 1,313 | 
|
| II год |  | 31000000 · 1,313 | 
|
| III год | 
| 31000000 · 1,313 | 
|
Решение уравнения:
Ответ: 124 809 100 рублей.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй —
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны
Решение. а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, радиус окружности с центром в точке O1 равен 4, а радиус окружности с центром в точке O2 равен 1. Треугольники BKC и AKD подобны, 
Пусть 
тогда 
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,
то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что 
Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1. Получаем:
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.
Ответ: б) 3,2.
Приведем решение пункта б) Рамиля Багавиева.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:
Из подобия треугольников AKD и AKB следует 
таким образом, AK = 2BK. Применим теорему Пифагора к треугольнику AKB, находим:
Тогда 
откуда получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно два решения.
Решение. Пусть
тогда уравнение принимает вид
где 
Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение (⁎) должно иметь единственное решение.
Если 
то уравнение не имеет решений.
Если 
то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).
Если 
уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая 
касается графика функции 
(см. рис.), что задаётся системой соотношений:
Заметим, что найденное значение параметра, действительно, положительно.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?
Решение. а) Пусть Петя в первый день решил x задач. Тогда в оставшиеся дни он решил x + 2, x + 4, x + 6, x + 8 задач. Всего в сборнике оказывается 5x + 20 задач. Вася в первый день решил
б) Вновь обозначим за x число задач, решенных Петей в первый день. Тогда всего Петя решил 4x + 12 задач. Вася решал x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5, ... задач. Если Вася решил все задачи сборника за четыре дня или менее, то он решил не более 4x + 10 задач. Но тогда Вася решил меньше задач, чем Петя. Противоречие. Если Вася решал задачи пять дней или более, то он решил как минимум 5x + 15 задач. Тогда Вася решил больше задач, чем Петя. Противоречие.
в) Петя решал задачи не менее семи дней. Начнем со случая, когда он решал задачи ровно семь дней.
Тогда в сборнике оказывается 7x + 42 задачи. Если Вася решил в первый день на одну задачу больше, чем Петя, то за семь дней он решил 7x + 28 задач. Следовательно, Вася решал задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил 8x + 36 задач. Уравнение 7x + 42 = 8x + 36 имеет решение x = 6. За девять или более дней Вася бы решил как минимум 9x + 45 задач, что превосходит число задач в сборнике. Если Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, то вновь ему, очевидно, придется решать задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил 8x + 20 задач, за девять дней 9x + 27 задач, за десять дней 10x + 35 задач, за большее число дней как минимум 11x + 44 задачи (что заведомо больше числа задач в сборнике). Уравнения 7x + 42 = 8x + 20, 7x + 42 = 9x + 27, 7x + 42 = 10x + 35 не имеют целых решений, меньших 6.
Таким образом, в случае, когда Петя решал задачи ровно семь дней, в сборнике не могло оказаться меньше 
задач (напомним, что такое могло быть, если Петя решил в первый день 6 задач, а Вася — 7, Петя решал задачи 7 дней, а Вася — 8).
Перейдем к случаям, когда Петя решал задачи более семи дней. Перечислим всевозможные значения, которые может принимать сумма 1 + 2 + ... + n: это 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, ... (так называемые треугольные числа).
Если Петя решил весь сборник за 8 дней, то он решил 8x + 56 задач. Нас интересует, может ли это число быть меньше 84. Необходимо проверить x = 1, x = 2, x = 3.
При x = 1 задач в сборнике 
Вася в первый день решил 2 задачи, то есть всего Вася решил 2 + 3 + 4 + 5 + ... задач. Следовательно, 64 должно быть меньше треугольного числа
При x = 2 задач в сборнике 
Вася в первый день решил или 1 задачу, или 3 задачи. Следовательно, 72 должно или совпадать с треугольным числом, или быть меньше него на 1 + 2 = 3. Противоречие.
При x = 3 задач в сборнике 
Вася в первый день решил или 2, или 4 задачи. Следовательно, 80 должно быть меньше треугольного числа или
Если же Петя решил весь сборник за 9 дней, то он решил 9x + 72 задач. Единственная подходящая возможность, чтобы задач в сборнике было меньше 84, это x = 1. Но тогда в сборнике 81 задача. В первый день Вася решил 2 задачи. Следовательно, 81 должно быть
Если Петя решал сборник более 9 дней, то он решил как минимум 10x + 90 задач, что заведомо больше 84.
Ответ: а) да; б) нет; в) 84.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 27764 | 119 |
| 2 | 27709 | 10 |
| 3 | 245344 | 3 |
| 4 | 1001 | 0,95 |
| 5 | 320176 | 0,08 |
| 6 | 77369 | -6 |
| 7 | 504824 | 5 |
| 8 | 27501 | 5 |
| 9 | 500252 | 2,4 |
| 10 | 99567 | 15 |
| 11 | 509262 | 62 |
| 12 | 77419 | -4 |
| 13 | 520994 | а) 2; 5; б) 2. |
| 14 | 517541 | б) |
| 15 | 514625 | |
| 16 | 511283 | 124 809 100 рублей. |
| 17 | 501887 | б) 3,2. |
| 18 | 505569 | |
| 19 | 525123 | а) да; б) нет; в) 84. |
