На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в шесть раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Пусть первые цифры чисел равны a1, a2, ..., an, а вторые цифры равны b1, b2, ..., bn. Сами числа тогда равны
Их сумма равна
Обозначая
получим, что сумма была равна 
а станет равна 
а) Решая систему
получим A = 232 и B = 56. Можно, например, взять 56 чисел, у каждого из вторая цифра равна 1, а первая у 8 чисел равна 5, а у остальных 48 равна 4, тогда A и B получатся как раз такими, как нужно. Итак, годятся 48 чисел 41 и 8 числа 51.
б) Решая систему
получаем A = 236 и B = 16. Но B = 16 означает, что чисел не более 16, а тогда сумма их первых цифр не превосходит 
в) Решая систему
находим 
тогда
значит,
Поскольку в каждом числе первая цифра меньше второй не более чем в девять раз, то 
откуда
то есть 
Кроме того, A и B должны получиться целыми, то есть 23 760 – n должно быть кратно 99. Находим:
поэтому нужно увеличить n как минимум на 97, чтобы получить разность 
Итак, 
Докажем, что такое n возможно. Для него получаем A = 234 и B = 36 и можно взять 36 чисел со второй цифрой 1, 18 из них с первой цифрой 7, а остальные 18 с первой цифрой 6. Тогда
и
Ответ: а) 48 чисел 41 и 8 числа 51; б) нет; в) 594.