На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 330. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в четыре раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в три раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Пусть первые цифры чисел равны a1, a2, ..., an, а вторые цифры равны b1, b2, ..., bn. Сами числа тогда равны
Их сумма равна
Обозначая
получим, что сумма была равна 
а станет равна 
а) Решая систему 
получим 
Можно, например, взять 20 чисел, у каждого из которых первая цифра равна 1, а вторая у 10 чисел равна 6, а у остальных 10 равна 7, тогда A и B получатся как раз такими, как нужно. Итак, годятся 10 чисел 16 и 10 чисел 17.
б) Решая систему 
получаем 
что, очевидно, невозможно.
в) Решая систему 
находим:
откуда
Из решения пункта б) видно, что 
откуда получаем:
то есть 
Кроме того, A и B должны получиться целыми, то есть 3300 – n должно быть кратно 99. Тогда:
поэтому нужно уменьшить n как минимум на 62, чтобы получить разность 
Итак,
Докажем, что такое n возможно. Для него получаем 
и можно взять 18 чисел с первой цифрой 1, 6 из них со второй цифрой 9, а остальные 12 со второй цифрой 8. Тогда
и
Ответ: а) 10 чисел 16 и 10 чисел 17; б) нет; в) 1518.