На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1782. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5,5 раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Пусть первые цифры чисел равны a1, a2, ..., an, а вторые цифры равны b1, b2, ..., bn. Сами числа тогда равны
Их сумма равна
Обозначая
получим, что сумма была равна 
а станет равна 
а) Решая систему
получим 
и 
Можно например взять 126 чисел, у каждого из которых первая цифра равна 1, а вторая у 78 чисел равна 3, а у остальных 48 равна 6, тогда A и B получатся как раз такими, как нужно. Итак, годятся 78 чисел 14 и 48 чисел 16.
б) Решая систему 
получаем 
Но 
означает, что чисел не более 81, а тогда сумма их последних цифр не превосходит 
в) Решая систему 
находим
откуда
Из решения пункта б) видно, что 
откуда
то есть 
Кроме того, A и B должны получиться целыми, то есть 17 820 – n должно быть кратно 99. Тогда
поэтому нужно уменьшить n как минимум на 20, чтобы получить разность 
Итак,
Докажем, что такое n возможно. Для него получаем 
и можно взять 94 чисел с первой цифрой 1, 4 из них со второй цифрой 8, а остальные 90 со второй цифрой 9. Тогда
и
Ответ: а) 78 чисел 14 и 48 чисел 16; б) нет в) 8 514.