Ре­ше­ние. а)  Если наи­мень­шее число равно 3, то сумма шести наи­мень­ших чисел не мень­ше 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8  =  33, а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше 5.

б)  Пусть сумма пяти наи­мень­ших чисел равна А, ше­стое по ве­ли­чи­не число равно В, а сумма пяти наи­боль­ших чисел равна С. Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 11 чисел равно 9. Тогда по­лу­ча­ем: от­ку­да Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство

в)   По­лу­ча­ем:

Зна­чит, нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние В.

Пусть числа, на­пи­сан­ные на доске, равны

Зна­чит, по­сколь­ку B целое.

По­ка­жем, что число В может рав­нять­ся 8. На­при­мер, если на доске на­пи­са­ны числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40, то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и

Таким об­ра­зом,

Ответ: а) нет, б) нет, в)

Ре­ше­ние. а)  Если наи­мень­шее число равно 5, то сумма шести наи­мень­ших чисел не мень­ше а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше 7.

б)  Пусть сумма пяти наи­мень­ших чисел равна А, ше­стое по ве­ли­чи­не число равно В, а сумма пяти наи­боль­ших чисел равна С. Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел равно 10. Тогда по­лу­ча­ем:

от­ку­да Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство

в)  Имеем: По­лу­ча­ем:

Зна­чит, нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние В.

Пусть числа, на­пи­сан­ные на доске, равны при­чем Тогда от­ку­да

Зна­чит, по­сколь­ку B целое.

По­ка­жем, что число В может рав­нять­ся 10. На­при­мер, если на доске на­пи­са­ны числа

то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и Таким об­ра­зом,

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  

Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся, а сред­ний балл был равен А. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся nA. После пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся в школу № 2 сред­ний балл вырос в два раза, то есть стал равен 2A, а ко­ли­че­ство уча­щих­ся стало Тогда сум­мар­ный балл после пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся стал равен Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на что не­воз­мож­но, по­сколь­ку пе­ре­шед­ший уча­щий­ся на­брал по­ло­жи­тель­ное ко­ли­че­ство бал­лов, а

б)  Пусть в школе № 2 сред­ний балл рав­нял­ся В, а пе­ре­шед­ший в нее уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

или

Если то по­сколь­ку число долж­но де­лить­ся на 10, а не долж­но быть от­ри­ца­тель­ным. По­лу­ча­ем что не­воз­мож­но, по­сколь­ку A целое.

в)  За­ме­тим, что если то или В пер­вом слу­чае а во вто­ром Зна­чит, ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен.

При по­лу­ча­ем от­ку­да Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 2 уча­щих­ся и на­бра­ли 22 и 18 бал­лов, а в школе № 2 пи­са­ли тест 49 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по три балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 18 бал­лов.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  3.

Ре­ше­ние. а)  При­ве­дем при­мер такой суммы:

б)  При­ве­дем при­мер такой суммы:

в)  Пусть m  =  dp, n  =  dq, где d  — наи­боль­ший общий де­ли­тель чисел m и n. Тогда Числа p, q и p + q по­пар­но вза­им­но про­стые, по­это­му числа p и q яв­ля­ют­ся вза­им­но про­сты­ми де­ли­те­ля­ми числа 14. По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие ва­ри­ан­ты:

Ответ:

а)  да, на­при­мер

б)  да, на­при­мер или дру­гой при­мер:

в)  28 и 28, 21 и 42, 16 и 112, 15 и 210, 18 и 63.

Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся, а сред­ний балл был равен А. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся nA. После пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся в школу № 2 сред­ний балл вырос в два раза, то есть стал равен 2A, а ко­ли­че­ство уча­щих­ся стало Тогда сум­мар­ный балл после пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся стал равен Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на что не­воз­мож­но, по­сколь­ку пе­ре­шед­ший уча­щий­ся на­брал по­ло­жи­тель­ное ко­ли­че­ство бал­лов, а

б)  Пусть в школе № 2 сред­ний балл рав­нял­ся В, а пе­ре­шед­ший в нее уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

или

Если то по­сколь­ку число долж­но де­лить­ся на 5, а не долж­но быть от­ри­ца­тель­ным. По­лу­ча­ем что не­воз­мож­но, по­сколь­ку A целое.

в)  За­ме­тим, что если или то В пер­вом сл­ку­чае а во вто­ром Зна­чит, ни один из этих слу­чае не воз­мо­жен.

При по­лу­ча­ем от­ку­да Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 2 уча­щих­ся и на­бра­ли 102 и 68 бал­лов, а в школе № 2 пи­са­ли тест 79 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 4 балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 68 бал­лов.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что уве­ли­чить число на 12,5% это тоже самое, что умно­жить его на

Пусть в пер­вой школе пи­са­ли тест n че­ло­век, и уча­щий­ся, пе­ре­шед­ший потом во вто­рую школу, на­брал a бал­лов. Тогда из усло­вия по­лу­ча­ет­ся урав­не­ние: Решая это урав­не­ние от­но­си­тель­но n, по­лу­ча­ем: Зна­чит, За­ме­тим так же, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское бал­лов после пе­ре­хо­да уче­ни­ка равно зна­чит, де­лит­ся на 4. Двум по­след­ним усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ет толь­ко число 5.

б)  Из пунк­та a) по­лу­ча­ем, что че­ты­ре остав­ших­ся в пер­вой школе уче­ни­ка сум­мар­но на­бра­ли 243 балла. Трое из них не могут на­брать сум­мар­но мень­ше, чем 3 балла. Зна­чит, мак­си­маль­ный балл у чет­вер­то­го уча­ще­го­ся равен 240.

Уче­ник же, пе­ре­шед­ший во вто­рую школу, на­брал бал­лов.

в)  Ясно, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское бал­лов не может быть мень­ше, чем еди­ни­ца. При­ве­дем при­мер, когда он равен 1. Пусть тест до пе­ре­хо­да пи­са­ли m детей. Тогда из усло­вия по­лу­ча­ет­ся урав­не­ние: Зна­чит, во вто­рой школе могло быть 207 пи­сав­ших тест детей, каж­дый из ко­то­рых по­лу­чил 1 балл.

Ответ: а)  5; б)  240; в)  1.

Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест два уча­щих­ся, один из них на­брал 1 балл, а вто­рой на­брал 19 бал­лов и перешёл в школу № 2. Тогда сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся в 10 раз.

б)  Пусть в школе № 2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, сред­ний балл рав­нял­ся B, а про­шед­ший в неё уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

Если B  =  7, то не де­лит­ся на 10, а 10u де­лит­ся на 10. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

в)  Пусть в школе № 1 сред­ний балл рав­нял­ся A. Тогда по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что если B  =  1 или B  =  3, то не де­лит­ся на 10. Если B  =  2 или B  =  4, то m  =  4. В пер­вом слу­чае 14A  =  10, а во вто­ром 14A  =  20. Зна­чит,ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен.

При B  =  5 и m  =  3 по­лу­ча­ем u  =  3 и A  =  2. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 6 уча­щих­ся, 3 из них на­бра­ли по 1 баллу, а 3  — по 3 балла, в школе № 2 пи­са­ли тест 3 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 5 бал­лов, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 3 балла.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5.

Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест два уча­щих­ся, один из них на­брал 1 балл, а вто­рой на­брал 3 балла и перешёл в школу № 2. Тогда сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся в 2 раза.

б)  Пусть в школе № 2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, сред­ний балл рав­нял­ся B, а пе­ре­шед­ший в неё уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

Если B  =  9, то не де­лит­ся на 50, а 50u де­лит­ся на 50. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

в)  Пусть в школе № 1 сред­ний балл рав­нял­ся A. Тогда по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что если B  =  1 или B  =  3, то не де­лит­ся на 50. Если B  =  5, то m  =  9, m  =  19, m  =  29 и m  =  39. Тогда со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем: 90A  =  200, 80A  =  150, 70A  =  100, 60A  =  50. Ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен. Если B  =  2 или B  =  4, то m  =  24. В пер­вом слу­чае 75A  =  50, а во вто­ром 75A  =  100. Зна­чит, ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен.

При B  =  6 и m  =  24 по­лу­ча­ем u  =  3 и A  =  2. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 26 уча­щих­ся, 13 из них на­бра­ли по 1 баллу, а 13  — по 3 балла, в школе № 2 пи­са­ли тест 24 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 6 бал­лов, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 3 балла.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  6.

Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся 18n, а после пе­ре­хо­да од­но­го уча­ще­го­ся в школу № 2 сум­мар­ный балл стал рав­нять­ся 19,8(n − 1). Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на 1,8(11 − n). Это число долж­но быть на­ту­раль­ным, по­сколь­ку рав­ня­ет­ся ко­ли­че­ству бал­лов пе­ре­шед­ше­го в школу № 2 уча­ще­го­ся. Зна­чит, этот уча­щий­ся на­брал 9 бал­лов и n  =  6.

б)  В школе № 1 тест пи­са­ли 6 уча­щих­ся, один из ко­то­рых на­брал 9 бал­лов. При этом сум­мар­но они на­бра­ли 108 бал­лов. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов у уча­ще­го­ся с луч­шим ре­зуль­та­том могло быть тогда, когда сумма бал­лов осталь­ных пяти уча­щих­ся была наи­мень­шей, то есть когда они на­бра­ли 1, 2, 3, 4 и 9 бал­лов. В этом слу­чае наи­боль­ший балл равен 89.

в)  Пусть в школе № 2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, а сред­ний балл рав­нял­ся B. Тогда по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, число 90 долж­но де­лить­ся на m + 11. При этом m + 11 > 21, по­сколь­ку m > 10. Число 90 имеет 3 де­ли­те­ля, боль­ших 21: 30, 45 и 90. Зна­чит, m + 11 ≥ 30, от­ку­да m ≥ 19.

По­ка­жем, что число m может рав­нять­ся 19. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 6 уча­щих­ся, один уча­щий­ся на­брал 9 бал­лов, один уча­щий­ся на­брал 27 бал­лов и 4 уча­щих­ся на­бра­ли по 18 бал­лов, в школе № 2 пи­са­ли тест 19 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 3 балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 9 бал­лов.

Ответ: а)  6; б)  89; в)  19.

Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе №1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся 42n , а после пе­ре­хо­да од­но­го уча­ще­го­ся в школу №2 сум­мар­ный балл стал рав­нять­ся 52,5(n − 1). Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на 10,5(5 − n). Это число долж­но быть на­ту­раль­ным, по­сколь­ку рав­ня­ет­ся ко­ли­че­ству бал­лов пе­ре­шед­ше­го в школу №2 уча­ще­го­ся. Зна­чит, этот уча­щий­ся на­брал 21 балл и n  =  3.

б)  В школе №1 тест пи­са­ли 3 уча­щих­ся, один из ко­то­рых на­брал 21 бал­лов. При этом сум­мар­но они на­бра­ли 126 бал­лов. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов у уча­ще­го­ся с луч­шим ре­зуль­та­том могло быть тогда, когда сумма

бал­лов осталь­ных двух уча­щих­ся была наи­мень­шей, то есть когда они на­бра­ли 1 и 21 бал­лов. В этом слу­чае наи­боль­ший балл равен 104.

в)  Пусть в школе №2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, а сред­ний балл рав­нял­ся B. Тогда по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, число 84 долж­но де­лить­ся на m + 5. При этом m + 5 > 15, по­сколь­ку m > 10. Число 84 имеет 4 де­ли­те­ля, боль­ших 15: 21, 28, 42 и 84. Зна­чит, m + 5 ≥ 21, от­ку­да m ≥ 16.

По­ка­жем, что число m может рав­нять­ся 16. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе №1 пи­са­ли тест 3 уча­щих­ся, один уча­щий­ся на­брал 21 балл, один уча­щий­ся на­брал 63 баллa и один уча­щий­ся на­брал 42 бал­лов, в школе №2 пи­са­ли тест 16 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 4 балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 21 балл.

Ответ: а) 3; б) 104; в) 16.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что при про­хож­де­нии уров­ня игры заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­ша­ет­ся на число пунк­тов, де­ля­ще­е­ся на 3. Зна­чит, он не мог умень­шить­ся ровно на 32 пунк­та.

б)  Обо­зна­чим ко­ли­че­ства уров­ней, за ко­то­рые были по­лу­че­ны одна, две или три звез­ды через a, b и c со­от­вет­ствен­но. Тогда по­лу­ча­ем: и от­ку­да То есть было прой­де­но 7 уров­ней.

в)  Из урав­не­ний и по­лу­ча­ем, что Зна­чит, име­ют­ся три воз­мож­но­сти: или

Если то и было по­лу­че­но 47 000 очков.

Если то и было по­лу­че­но 48 000 очков.

Если то и было по­лу­че­но 49 000 очков.

Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­лу­чен­ных очков равно 49 000.

Ответ: а)  нет; б)  7; в)  49 000.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что при про­хож­де­нии уров­ня игры заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­ша­ет­ся на число пунк­тов, де­ля­ще­е­ся на 3. Зна­чит, он не мог умень­шить­ся ровно на 50 пунк­тов.

б)  Обо­зна­чим ко­ли­че­ства уров­ней, за ко­то­рые были по­лу­че­ны одна, две или три звез­ды через a, b и c со­от­вет­ствен­но. Тогда по­лу­ча­ем: и Умно­жим пер­вое ра­вен­ство на три и сло­жим со вто­рым, по­лу­чит­ся ра­вен­ство То есть было прой­де­но 6 уров­ней.

в)  Из урав­не­ний и по­лу­ча­ем, что Зна­чит, име­ют­ся три воз­мож­но­сти: или

Если то и было по­лу­че­но 33 000 очков.

Если то и было по­лу­че­но 31 000 очков.

Если то и было по­лу­че­но 29 000 очков.

Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­лу­чен­ных очков равно 33 000.

Ответ: а) нет; б) 6; в) 33 000.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, если из числа 123 456 789 вы­черк­нуть цифры 2, 7 и 9, то по­лу­чит­ся число 134 568, крат­ное 72.

б)  Пред­по­ло­жим, что можно вы­черк­нуть не­сколь­ко цифр из числа 846 927 531 так, чтобы по­лу­чи­лось число, крат­ное 72.

Если число крат­но 72, то оно чётное. Зна­чит, цифры 7, 5, 3 и 1 долж­ны быть вы­черк­ну­ты. По­лу­ча­ет­ся число 84 692. Оно не крат­но 72, по­это­му из него надо вы­черк­нуть цифры так, чтобы по­лу­чи­лось число, крат­ное 72. Зна­чит, сумма остав­ших­ся цифр долж­на де­лить­ся на 9, то есть сумма вы­черк­ну­тых цифр долж­на быть равна 2, 11 или 20. Это воз­мож­но, толь­ко если вы­черк­нуть или 2, или 2 и 9, или 2, 4, 6 и 8. Ни одно из по­лу­ча­ю­щих­ся чисел  — 8469, 846, 9  — не де­лит­ся на 72.

в)  За­ме­тим, что все цифры числа 124 875 963 раз­лич­ны и не равны нулю.

Если вы­черк­нуть из ис­ход­но­го числа 8 или 7 цифр, то по­лу­чит­ся число, мень­шее 100. Среди таких чисел толь­ко 72 де­лит­ся на 72, но его нель­зя по­лу­чить при вычёрки­ва­нии цифр из ис­ход­но­го числа.

Если вы­черк­нуть из ис­ход­но­го числа 6 цифр, то по­лу­чит­ся трёхзнач­ное число. Среди трёхзнач­ных чисел, все цифры в ко­то­рых раз­лич­ны и не равны нулю, на 72 де­лят­ся толь­ко сле­ду­ю­щие: 216, 432, 576, 648, 792, 864, 936. Ни одно из них не по­лу­ча­ет­ся при вычёрки­ва­нии из числа 124 875 963 не­сколь­ких цифр.

Зна­чит, нель­зя вы­черк­нуть более 5 цифр так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число было крат­но 72. Пять цифр вы­черк­нуть можно. На­при­мер, если вы­черк­нуть цифры 4, 8. 7, 5 и 3, то по­лу­чит­ся число 1296, крат­ное 72.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5.

Ре­ше­ние. а)  Если наи­мень­шее число равно 3, то сумма шести наи­мень­ших чисел не мень­ше а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше 5.

б)  Упо­ря­до­чим числа по воз­рас­та­нию и обо­зна­чим их Сумма шести наи­мень­ших чисел равна 30, сумма шести наи­боль­ших чисел равна  90, сумма всех де­ся­ти чисел равна  110. Тогда то есть Но та­ко­го быть не может, по­сколь­ку и

в)  До­ка­жем, что Пусть тогда зна­чит, (иначе ). Но тогда Про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, Таким об­ра­зом, Тогда сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 10 чисел не пре­вос­хо­дит 10,5.

Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­бо­ра 2, 3, 4, 6, 7, 8, 14, 16, 22, 23, удо­вле­тво­ря­ю­ще­го усло­ви­ям за­да­чи, как раз равно 10,5.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  

Ре­ше­ние. а)  Пусть, на­при­мер, пер­вый и чет­вер­тый уче­ни­ки на­кор­ми­ли пер­во­го кро­ли­ка, а вто­рой и тре­тий  — всех осталь­ных. Тогда каж­до­му до­ста­лось по 500 грамм корма.

б)  Масса корма для од­но­го кро­ли­ка обя­за­тель­но будет де­лить­ся на 100 и не пре­вос­хо­дить 1000 грамм, что дает 11 ва­ри­ан­тов  — 0, 100, 200, ... ,1000 грамм.

в)  Сум­мар­но кро­ли­ки по­лу­чи­ли

грам­мов корма. Упо­ря­до­чим их по массе по­лу­чен­но­го корма. Если их было хотя бы 10, то масса корма со­ста­ви­ла не менее чем

что не­воз­мож­но.

При­мер для 9 кро­ли­ков можно по­стро­ить. Будем вы­да­вать им 0, 100, 200, 300, 400, 100 + 200 + 300, 100 + 200 + 400, 100 + 300 + 400, 200 + 300 + 400 грам­мов корма. Тогда каж­дый уче­ник по­участ­ву­ет в корм­ле­нии 4 раза.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.