а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки А и В, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точки В₁ и С₁, при­чем ВВ₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а от­ре­зок АС₁ пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что угол АВС₁ пря­мой.

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, если AB  =  15, BB₁  =  21, B₁C₁  =  20.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A, B и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точ­ках B и E и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точ­ках K и D.

а)  До­ка­жи­те, что AE = AK.

б)  Най­ди­те AD, если CE =12 , DK = 2 и

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 1 000 000 руб­лей на 11 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 10-й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 15-му числу 11-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1231 ты­ся­чи руб­лей?

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

В шко­лах №1 и №2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере 2 уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл за тест был целым чис­лом, причём в школе №1 сред­ний балл рав­нял­ся 42.

Один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах. В ре­зуль­та­те сред­ний балл в школе №1 вырос на 25%, сред­ний балл в школе №2 также вырос на 25%.

а)  Сколь­ко уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе №1 из­на­чаль­но?

б)  В школе №1 все пи­сав­шие тест на­бра­ли раз­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов мог на­брать уча­щий­ся этой школы?

в)  Из­вест­но, что из­на­чаль­но в школе №2 пи­са­ли тест более 10 уча­щих­ся. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе №2 из­на­чаль­но?