Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 520858
i

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест писал 81 уча­щий­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого, один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 вы­рас­ти в два раза?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 20%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 20%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 1?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 20%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 20%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся, а сред­ний балл был равен А. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся nA. После пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся в школу № 2 сред­ний балл вырос в два раза, то есть стал равен 2A, а ко­ли­че­ство уча­щих­ся стало n минус 1. Тогда сум­мар­ный балл после пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся стал равен 2 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка A. Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на nA минус 2 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка A = левая круг­лая скоб­ка 2 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка A, что не­воз­мож­но, по­сколь­ку пе­ре­шед­ший уча­щий­ся на­брал по­ло­жи­тель­ное ко­ли­че­ство бал­лов, а n\geqslant2.

б)  Пусть в школе № 2 сред­ний балл рав­нял­ся В, а пе­ре­шед­ший в нее уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

u=nA минус 1,2 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка A=1,2 левая круг­лая скоб­ка 82 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка B минус левая круг­лая скоб­ка 81 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка B,

или

5u= левая круг­лая скоб­ка 6 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка A= левая круг­лая скоб­ка 87 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка B.

Если B=1, то n=2, по­сколь­ку число левая круг­лая скоб­ка 87 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка B долж­но де­лить­ся на 5, а левая круг­лая скоб­ка 6 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка A не долж­но быть от­ри­ца­тель­ным. По­лу­ча­ем 4A=85, что не­воз­мож­но, по­сколь­ку A целое.

в)  За­ме­тим, что если B=2 или B=3, то n=2. В пер­вом сл­ку­чае 4A=170, а во вто­ром 4A=255. Зна­чит, ни один из этих слу­чае не воз­мо­жен.

При B=4 по­лу­ча­ем n=2, от­ку­да u=68, A=85. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 2 уча­щих­ся и на­бра­ли 102 и 68 бал­лов, а в школе № 2 пи­са­ли тест 79 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 4 балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 68 бал­лов.

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий ре­зуль­та­тов:

— обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а;

— при­мер в п. б;

— ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

— при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оцен­ки.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 520808: 520884 520920 520858 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025