а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки А и В, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точки В₁ и С₁, при­чем ВВ₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а от­ре­зок АС₁ пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что угол АВС₁ пря­мой.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми ВВ₁ и АС₁, если АВ  =  8, ВВ₁  =  6, В₁С₁  =  15.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность с цен­тром О₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний ВС и AD и бо­ко­вой сто­ро­ны АВ тра­пе­ции ABCD. Окруж­ность с цен­тром O₂ ка­са­ет­ся сто­рон ВС, CD и AD. Из­вест­но, что АВ  =  30, ВС  =  24, CD  =  50, AD  =  74.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая О₁О₂ па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции АВСD.

б)  Най­ди­те О₁О₂.

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 13 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 12-й долг дол­жен быть на 50 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 15-му числу 13-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 804 ты­ся­чи руб­лей?

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест писал 81 уча­щий­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого, один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 вы­рас­ти в два раза?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 20%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 20%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 1?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 20%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 20%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.