СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 513920

В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.

Решение.

а) Треугольник BAC — равнобедренный. Проведём AMBC. M — середина BC, тогда DMBC, так как треугольник BDC равнобедренный. ∠AMD = φ — линейный угол двугранного угла при ребре BC. Аналогично ∠BNC = φ — линейный угол двугранного угла при ребре AD. ΔABC = ΔDBC по трём сторонам, тогда MA = MD и

Аналогично ΔBAD = ΔCAD и NB = NC, а

Треугольники ANM и BMN равны по общему катету MN и острому углу α, тогда AN = BM. Но следовательно, AD = BC.

б) По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD равносторонний. Пусть AD = AM = MD = BC = a, тогда В треугольнике AMB имеем откуда и

Тогда

 

Ответ:

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Объем тела, Построения в пространстве, Треугольная пирамида, Угол между плоскостями