В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.
а) Докажите, что AD = BC.
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.
а) Треугольник BAC — равнобедренный. Проведём AM ⊥ BC. M — середина BC, тогда DM ⊥ BC, поскольку треугольник BDC равнобедренный. ∠AMD = φ — линейный угол двугранного угла при ребре BC. Аналогично ∠BNC = φ — линейный угол двугранного угла при ребре AD. ΔABC = ΔDBC по трём сторонам, тогда MA = MD и
Аналогично ΔBAD = ΔCAD и NB = NC, а
Треугольники ANM и BMN равны по общему катету MN и острому углу α, тогда AN = BM. Но 
следовательно, AD = BC.
б) По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD равносторонний. Пусть AD = AM = MD = BC = a, тогда 
В треугольнике AMB имеем 
откуда 
и 
Тогда
Ответ: 