СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514447

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А1С1 и В1С1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ;

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.

Решение.

Построим сечение призмы плоскости плоскости γ. Проведём КР || АС, , CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC, Проведём RK. Трапеция LPLR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости.

Введём систему координат как показано на рисунке. В этой системе координат: В(0; 0; 0), С(0; 6; 0), В'(0; 0; 3), C'(0; 6; 3), P(0; 5; 0),

Тогда

; ; ;

Откуда получаем:

Так как и получаем, что Что и требовалось доказать.

Далее заметим, что плоскость сечения перпендикулярна вектору , найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости:

Найдём свободный член D в уравнении плоскости подставив координаты точки К:

поэтому

Тогда для искомого расстояния получаем:

 

Укажем идею другого решения.

Четырёхугольник RLPK — искомое сечение. Проведём плоскость B'MTB. Имеем:

Рассмотрим прямоугольник BB'MT. Пусть F' — середина B'M, тогда

(ΔBKF ~ ΔBAT).

На продолжении TB за точку B отметим точку F'', такую, что . Тогда и

Далее,

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник FF'F'' прямоугольный следовательно, Это и требовалось доказать.

 

 

Еще один подход к решению задачи, не использующий метод координат, укажем на примере задачи 514653.


Аналоги к заданию № 514447: 514541 Все

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад