На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 8 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 7, а B1Q = 3. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С1 до плоскости A1PQ.
а) Пусть K и N — центры граней ABCD и 
соответственно. Прямая KN лежит одновременно в 
и 
пусть O — точка пересечения PQ и KN. Заметим, что
В треугольнике A1C1M отрезок ON — средняя линия, C1M = 2ON = 4, значит, M — середина СС1.
б) Расстояние от С1 до A1PQ — высота h пирамиды C1PQM, опущенная из вершины С1. Выразим объём двумя способами:
С другой стороны,
откуда 
Заметим, теперь, что 
По теореме Пифагора:
Далее из теоремы косинусов:
тогда 
откуда 
Ответ: 