Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 514610

На рёбрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 4, а B1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть прямые АР и ВС пересекаются в точке R (см. рис.). Тогда точка М — точка пересечения прямых QR и СС1.

Треугольники ARB и PRC подобны, откуда  дробь: числитель: RC, знаменатель: RB конец дроби = дробь: числитель: PC, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , RC=2BC=24.

Треугольники QRB и MRC подобны, откуда  дробь: числитель: MC, знаменатель: QB конец дроби = дробь: числитель: RC, знаменатель: RB конец дроби , следовательно, MC= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби QB=6. Значит, М — середина СС1.

б) Расстояние от точки С до плоскости APQ равно высоте h пирамиды CPRM, опущенной из вершины С. Объём пирамиды CPRM, с одной стороны

V_CPRM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на RC умножить на S_MPC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на RC умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби PC умножить на CM=192.

C другой стороны V_CPRM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на h умножить на S_RPM. Значит,

h= дробь: числитель: 3 умножить на 192, знаменатель: S_RPM конец дроби .

В треугольнике RPM находим стороны: RP=8 корень из 10, RM=6 корень из 17, MP=10.

По теореме косинусов

 косинус \angle MRP = дробь: числитель: MR в квадрате плюс RP в квадрате минус MP в квадрате , знаменатель: 2MR умножить на PR конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из 170 конец дроби ,

откуда  синус \angle MRP = дробь: числитель: корень из 26, знаменатель: корень из 170 конец дроби .

Площадь треугольника RPM равна S_RPM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 корень из 17 умножить на 8 корень из 10 умножить на дробь: числитель: корень из 26, знаменатель: корень из 170 конец дроби =24 корень из 26.

Следовательно, h= дробь: числитель: 3 умножить на 192, знаменатель: 24 корень из 26 конец дроби = дробь: числитель: 12 корень из 26, знаменатель: 13 конец дроби .

 

Ответ: б)  дробь: числитель: 12 корень из 26, знаменатель: 13 конец дроби .

 

Приведём идею решения Евгения Матвеева.

В системе координат с началом в точке C левая круглая скобка 0,0,0 правая круглая скобка уравнение плоскости APQ имеет вид 3x плюс y плюс 4z=24. Расстояние от С до плоскости APQ равно

d=i3 умножить на 0 плюс 0 плюс 4 умножить на 0 плюс дробь: числитель: 24i, знаменатель: корень из 3 в квадрате плюс 1 плюс 4 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: корень из 26 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 605 (C часть). , ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 601 (C часть).