Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514555

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно  корень из 5 , а высота SH пирамиды равна  корень из 3 . Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды с вершиной N и основанием SCD.

а) Докажите, что точка T является серединой SM.

б) Найдите расстояние между NT и SC.

Решение.

а) Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной плоскости ABC.

AH= корень из { AS в степени 2 минус SH в степени 2 }= корень из 2 ,

AB=AH корень из 2 =2,

MN=AD=2,

SM=SN= корень из { SA в степени 2 минус AN в степени 2 }=2.

Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT — его высота. Следовательно, T — середина SM.

 

б) Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC (рис. 2). Прямые NT и TE перпендикулярны, так как NT — высота пирамиды NSCD. Поскольку отрезок TE перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть искомое расстояние.

Прямоугольные треугольники SET и SMC подобны, следовательно,  дробь, числитель — ET, знаменатель — MC = дробь, числитель — ST, знаменатель — SC , откуда

ET= дробь, числитель — ST умножить на CM, знаменатель — SC = дробь, числитель — SM умножить на CD, знаменатель — 4SC = дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 5 .

 

Ответ: б)  дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 5 .


Аналоги к заданию № 514520: 514555 Все

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 509 (C часть).