На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 10, а B1Q = 4. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С1 до плоскости A1PQ.
а) Пусть K и N — центры граней ABCD и 
соответственно. Прямая KN лежит одновременно в 
и 
пусть O — точка пересечения PQ и KN. Заметим, что
В треугольнике A1C1M отрезок ON — средняя линия, C1M = 2ON = 6, значит, M — середина СС1.
б) Расстояние от С1 до A1PQ — высота h пирамиды C1PQM, опущенная из вершины С1. Выразим объём двумя способами:
С другой стороны,
откуда 
По теореме Пифагора из различных прямоугольных треугольников получаем: 
Далее из теоремы косинусов:
из основного тригонометрического тождества 
Тогда
откуда 
Ответ: 