PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB = 6, а боковое ребро 
На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Решение. а) Плоскость MNK пересекает плоскости оснований ABCD и A1B1C1D1 по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны, а CL = 1.
Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:
Поэтому MNKL — квадрат.
б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A1B1. Тогда, так как 
получаем 
поэтому прямая WM, а значит и плоскость MWK пересекает ребро AA1 в его середине E. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F.
В прямоугольнике AEFC противоположные стороны: 
Сечение MENKFL состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна
Ответ: б) 55.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = 2, а B1L = 4. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Решение. а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные AC. Пусть эти прямые пересекают рёбра BC и A1B1 в точках K1 и L1 соответственно (рис. 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость BB1M. Пусть эта плоскость пересекает прямые AC, KK1 и LL1 в точках N, E и F соответственно. Четырёхугольник BB1MN — прямоугольник, причём
Кроме того, 
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFB1B (рис. 2), тогда
Поскольку 
то есть прямые EF и BM перпендикулярны.
Прямая KK1 параллельна прямой AC, которая перпендикулярна плоскости BB1M. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой BM, поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Поскольку прямая AC параллельна плоскости γ, расстояние от точки C до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
Решение. а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B1C1 в точках K1 и L1 соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC1. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём
Кроме того, 
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда 
Поскольку 
то есть прямые EF и A1C перпендикулярны.
Прямая KK1 параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA1C. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой A1C, поэтому прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 
а высота SH пирамиды равна 3. Точки
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
Решение. а) Точка H лежит на отрезке MN. NC = ND, поэтому TC = TD. Это означает, что
Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT — его высота и, следовательно, медиана, T — середина SM.
б) Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из Прямые
Прямоугольные треугольники 
откуда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке K.
а) Докажите, что B1K : KC1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
Решение. а) Пусть прямые AP и BB1 пересекаются в точке X (см. рис.). Тогда точка K — точка пересечения прямых XQ и B1C1. Треугольники AXB и PXB1 подобны, откуда
Треугольники B1XK и C1QK тоже подобны, а потому
Значит, 
б) Пусть Y — точка пересечения прямых QX и BC, а V — точка пересечения прямых CD и AY. Тогда пятиугольник APKQV — сечение, площадь которого надо найти. Треугольники C1KQ и CYQ равны, откуда CY = C1K = 1. Треугольники AYB и VYC подобны, откуда 
Четырёхугольник APKY — равнобедренная трапеция, в которой
Треугольник QYV — равносторонний со стороной 
его площадь 
Вычислим высоту трапеции APKY, 
Таким образом, её площадь 
Значит, искомая площадь равна
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
Проведем прямую AP, проведем прямую QT параллельную прямой AP, соединим точки A и T, проведем прямую PK параллельно прямой AT, соединим точки K и Q. Пятиугольник APKQT — искомое сечение.
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. В этой системе координат: 
Подставим координаты точек плоскости A, P и Q в уравнение плоскости 
получим:
Из первого уравнения системы находим 
Подставим во второе уравнение и выразим С:
Находим B:
Получаем уравнение плоскости APQ:
По условию 
тогда 
Подставим координаты точки K в уравнение плоскости APQ: 
—
б) Спроектируем сечение APKQT на плоскость ABC, получим пятиугольник AP′K′CT (см. рис.). Треугольники AA1P и QCT подобны по двум углам, значит, CT = 1 и TD = 3. Поэтапно найдем площадь AP′K′CT:
Найдем угол φ между плоскостью сечения и плоскостью проекции. Вектор нормали к плоскости APQ имеет координаты 
Нормалью к плоскости основания ABC является вектор 
Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями к ним:
По теореме о площади ортогональной проекции получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, 
Точка Q — середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C1. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости APQ.
Решение. а) Пусть R — точка пересечения прямых PQ и A1C1, а K — середина B1C1 (см. рис.). Тогда M — точка пересечения прямых AR и CC1.
Треугольники PKQ и PC1R подобны, откуда
Отрезок C1M — средняя линия треугольника AA1R, поскольку A1C1 = C1R и прямые AA1 и CC1 параллельны. Значит,
то есть M — середина CC1.
б) Расстояние от точки A1 до плоскости APQ равно высоте h пирамиды A1AQR, опущенной из вершины A1.
Объём пирамиды A1AQR: 
C другой стороны, объём пирамиды A1AQR:
Значит,
В треугольнике AQR находим стороны:
Площадь равнобедренного треугольника AQR равна
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
На рёбрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 4, а B1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.
Решение. а) Пусть прямые АР и ВС пересекаются в точке R (см. рис.). Тогда точка М — точка пересечения прямых QR и СС1.
Треугольники ARB и PRC подобны, откуда 
Треугольники QRB и MRC подобны, откуда 
следовательно, 
Значит, М — середина СС1.
б) Расстояние от точки С до плоскости APQ равно высоте h пирамиды CPRM, опущенной из вершины С. Объём пирамиды CPRM, с одной стороны
C другой стороны, 
Значит, 
В треугольнике RPM находим стороны: 
По теореме косинусов
откуда 
Площадь треугольника RPM равна
Следовательно,
Ответ: б) 
Приведём идею решения Евгения Матвеева.
В системе координат с началом в точке 
уравнение плоскости APQ имеет вид 
Координаты точки М() с координатами
Расстояние от С до плоскости APQ равно
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. Тогда в этой системе координат имеем:
Пусть точка M — середина отрезка CC1. Тогда координаты точки M равны (0; 12; 6). Подставим координаты точек плоскости A, P и Q в уравнение плоскости 
получим:
Находим уравнение плоскости APQ:
Подставим координаты точки M в уравнение плоскости:
следовательно, точка M принадлежит плоскости APQ.
б) Найдём расстояние от точки C до плоскости APQ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC1 = 3, а AQ = 4. Плоскость A1PQ пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A1PQ.
Решение. а) Пусть прямые A1Q и BB1 пересекаются в точке R (см. рис.). Тогда точка M — точка пересечения прямых PR и BC.
Треугольники A1B1R и QBR подобны, откуда
Треугольники PB1R и MBR подобны, откуда
Значит, M — середина BC.
б) Расстояние от точки B до плоскости A1PQ равно высоте h пирамиды BRQM, опущенной из вершины B. Значит, с одной стороны, объём пирамиды BRQM
C другой стороны, 
Таким образом,
Найдем стороны треугольника QMR:
Площадь равнобедренного треугольника QMR равна
Следовательно, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 10, а B1Q = 4. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С1 до плоскости A1PQ.
Решение. а) Пусть K и N — центры граней ABCD и
соответственно. Прямая KN лежит одновременно в 
и 
пусть O — точка пересечения PQ и KN. Заметим, что
В треугольнике A1C1M отрезок ON — средняя линия, C1M = 2ON = 6, значит, M — середина СС1.
б) Расстояние от С1 до A1PQ — высота h пирамиды C1PQM, опущенная из вершины С1. Выразим объём двумя способами:
С другой стороны,
откуда 
По теореме Пифагора из различных прямоугольных треугольников получаем: 
Далее из теоремы косинусов:
из основного тригонометрического тождества 
Тогда
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 8 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 7, а B1Q = 3. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С1 до плоскости A1PQ.
Решение. а) Пусть K и N — центры граней ABCD и
соответственно. Прямая KN лежит одновременно в и пусть O — точка пересечения PQ и KN. Заметим, что
В треугольнике A1C1M отрезок ON — средняя линия, C1M = 2ON = 4, значит, M — середина СС1.
б) Расстояние от С1 до A1PQ — высота h пирамиды C1PQM, опущенная из вершины С1. Выразим объём двумя способами:
С другой стороны,
откуда 
Заметим, теперь, что 
По теореме Пифагора:
Далее из теоремы косинусов:
тогда 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
На рёбрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 4, а B1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.
Решение.
а) Пусть прямые АР и ВС пересекаются в точке R (см. рис.). Тогда точка М — точка пересечения прямых QR и СС1.
Треугольники ARB и PRC подобны, откуда
Треугольники QRB и MRC подобны, откуда следовательно, Значит, М — середина СС1.
б) Расстояние от точки С до плоскости APQ равно высоте h пирамиды CPRM, опущенной из вершины С. Объём пирамиды CPRM, с одной стороны
C другой стороны, Значит, В треугольнике RPM находим стороны: По теореме косинусов
откуда
Площадь треугольника RPM равна
Следовательно,
Ответ: б)
Приведём идею решения Евгения Матвеева.
В системе координат с началом в точке уравнение плоскости APQ имеет вид Координаты точки М() с координатами
Расстояние от С до плоскости APQ равно
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. Тогда в этой системе координат имеем:
Пусть точка M — середина отрезка CC1. Тогда координаты точки M равны (0; 12; 6). Подставим координаты точек плоскости A, P и Q в уравнение плоскости получим:
Находим уравнение плоскости APQ:
Подставим координаты точки M в уравнение плоскости:
следовательно, точка M принадлежит плоскости APQ.
б) Найдём расстояние от точки C до плоскости APQ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно 
а высота SH пирамиды равна 
Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
Решение. а) Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной плоскости ABC.
Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT — его высота. Следовательно, T — середина SM.
б)Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC (рис. 2). Прямые NT и TE перпендикулярны, так как NT — высота пирамиды NSCD. Поскольку отрезок TE перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть искомое расстояние.
Прямоугольные треугольники SET и SMC подобны, следовательно, откуда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 8. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 3, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Решение. Площадь основания призмы равна
а объём призмы равен 
В четырёхугольной пирамиде B1A1C1NM высота совпадает с высотой основания призмы A1B1C1, опущенной на сторону A1C1, и равна 
Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 48. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен 
то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.
б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна Основанием пирамиды является трапеция ACNM, площадь которой SACNM = 16. Тогда VBACNM = 
Многогранник ABCMB1N состоит из двух частей: BACNM и MNBB1. Значит, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Решение. Площадь основания призмы равна
а объём призмы равен 
В четырёхугольной пирамиде B1A1C1NM высота совпадает с высотой основания призмы A1B1C1, опущенной на сторону A1C1, и равна 
Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен 
то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.
б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен 
Многогранник ABCMB1N состоит из двух частей: BACNM и MNBB1. Значит, объём тетраэдра MNBB1 равен 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.
Решение. а) Плоскость
параллельна диагонали основания BD, поэтому пересекает основание ABCD по прямой KK1, параллельной BD, K1 лежит на CD. 
поэтому прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция 
Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Заметим, что проекцией прямой AC1 на плоскость ABCD является прямая AC. Кроме того, 
как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах 
следовательно, 
Рассмотрим плоскость AA1C1C. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. O — точка пересечения EF и AC1. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём 
Так как AA1C1C — прямоугольник, 
Значит, 
Таким образом,
Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, 
следовательно, треугольник 
прямоугольный, 
Таким образом, 
б) Расстояние от точки B1 до плоскости равно расстоянию до нее от любой точки параллельной ей прямой B1D1. Из точки M — пересечения диагоналей грани в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как по доказанному в п. а) 
плоскость 
следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем 
Заметим, 
Таким образом, 
Ответ: б) 
Приведем решение векторно-координатным методом.
Поместим начало координат в точке C, направим координатные оси так, как показано на рисунке. Прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда её направляющий вектор коллинеарен вектору, перпендикулярному этой плоскости. Проверим выполнение этого условия.
Найдем направляющий вектор прямой 
Найдем вектор 
перпендикулярный плоскости 
Определим координаты точек, лежащих в этой плоскости: 
Подставим найденные координаты в уравнение плоскости 
получим:
Плоскость 
не проходит через начало координат, поэтому можно положить D равным любому отличному от нуля числу. Пусть 
тогда 
Следовательно,
Заметим, что 
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарные, а потому 
б) Расстояние от точки с координатами 
до плоскости 
определяется по формуле
Подставляя в формулу найденные в пункте а) коэффициенты уравнения плоскости и координаты точки 
получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
Решение. а) Пусть O — центр основания пирамиды (рис. 1), тогда
Заметим, что AM : AB = AK : AS, значит, прямые MK и BS параллельны. Кроме того, прямые MN и BC также параллельны, поэтому плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Пусть точки P, Q и R — середины отрезков AD, BC и MN соответственно. Плоскости MNK и SBC параллельны, а плоскость SPQ перпендикулярна прямой BC, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки R до прямой QS. Опустим из точки R перпендикуляр RH на прямую SQ (рис. 2). Тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.
Решение. а) Построим сечение призмы плоскостью γ. Проведём КР || АС,
CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC, 
Проведём RK. Трапеция LPKR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости.
Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат: В(0; 0; 0), С(0; 6; 0), В'(0; 0; 3), C'(0; 6; 3), 
P(0; 5; 0), 
Тогда
Откуда получаем:
Так как 
и 
получаем, что 
б) Далее заметим, что плоскость сечения перпендикулярна вектору 
найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости.
Найдём свободный член D в уравнении плоскости 
подставив координаты точки К:
поэтому 
Упростив уравнение плоскости, получим: 
Тогда для искомого расстояния получаем:
Приведем другое решение.
а) Четырёхугольник RLPK — искомое сечение. Проведём плоскость B'MTB. Имеем:
Рассмотрим прямоугольник BB'MT. Заметим, что LR — средняя линия треугольника A'B'C', тогда F' — середина B'M, тогда
(ΔBKF ~ ΔBAT):
Пусть теперь 
Тогда 
На продолжении TB за точку B отметим точку F'', такую, что 
Тогда 
и 
Далее,
По обратной теореме Пифагора, треугольник FF'F'' прямоугольный 
следовательно, 
б) Заметим, что поскольку 
то 
Пусть основанием перпендикуляра опущенного из T на γ будет являться точка S. Тогда TS || BM || F''F'. Таким образом, треугольники FTS и FF''F' будут подобны. Следовательно, 
откуда 
Ответ: б) 
Еще один подход к решению задачи, не использующий метод координат, укажем на примере задачи 514653.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.
а) Докажите, что AD = BC.
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.
Решение. а) Треугольник BAC — равнобедренный. Проведём AM ⊥ BC. M — середина BC, тогда DM ⊥ BC, поскольку треугольник BDC равнобедренный. ∠AMD = φ — линейный угол двугранного угла при ребре BC. Аналогично ∠BNC = φ — линейный угол двугранного угла при ребре AD. ΔABC = ΔDBC по трём сторонам, тогда MA = MD и
Аналогично ΔBAD = ΔCAD и NB = NC, а
Треугольники ANM и BMN равны по общему катету MN и острому углу α, тогда AN = BM. Но 
следовательно, AD = BC.
б) По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD равносторонний. Пусть AD = AM = MD = BC = a, тогда 
В треугольнике AMB имеем 
откуда 
и 
Тогда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |