Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 513625

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB = 6, а боковое ребро AA_1=4 корень из 3 . На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

Спрятать решение

Решение.

а) Плоскость MNK пересекает плоскости оснований ABCD и A1B1C1D1 по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны, а CL = 1.

Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:

NK=ML= корень из { MB в степени 2 плюс BL в степени 2 }=5 корень из 2 .

LK=MN= корень из { MA в степени 2 плюс AA_1 в степени 2 плюс A_1N в степени 2 }=5 корень из 2 ,

MK= корень из { (MB минус KC_1) в степени 2 плюс BC в степени 2 плюс CC_1 в степени 2 }= корень из { (BL минус NA_1) в степени 2 плюс AB в степени 2 плюс AA_1 в степени 2 }=LN.

Поэтому MNKL — квадрат.

б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A1B1. Тогда, так как D_1k=D_1N, получаем WA_1=NA_1=MA=1, поэтому прямая WM, а значит и плоскость MWK пересекает ребро AA1 в его середине E. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F.

В прямоугольнике AEFC противоположные стороны: EF=AC=6 корень из 2 . Сечение MENKFL состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна

2 умножить на дробь, числитель — ML плюс EF, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — MN, знаменатель — 2 =55.

 

Ответ: б) 55.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)2
Выполнен только один из пунктов а) или б)1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл2

 

*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода


Аналоги к заданию № 513428: 513447 513625 513752 514187 525069 525097 Все

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 2 (только часть С)
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Антон Уваров 21.04.2017 16:07

Подскажите, как находится LK,MN и MK,LN. Что за формулы?

Александр Иванов

теорема Пифагора