СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514474

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме АВСDА1В1С1D1 сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро АА1 равно На реб­рах BC и C1D1 от­ме­че­ны точки К и L со­от­вет­ствен­но, причём ВК = 4, C1L = 5. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой BD и со­дер­жит точки К и L.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая AC1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ;

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B1 до плос­ко­сти γ.

Решение.

а) Так как плоскость параллельна диагонали основания BD, то пересекает основание ABCD по прямой KK1 параллельной BD, K1 лежит на CD. Так как, прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Заметим, что проекцией прямой AC1 на плоскость ABCD является прямая AC. Кроме того, как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах следовательно,

Рассмотрим плоскость AA1C1C. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. O — точка пересечения EF и AC1. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём

Так как AA1C1 прямоугольник, Значит, Таким образом,

Тогда по обратной теореме Пифагора следовательно, треугольник прямоугольный, Таким образом,

б) Расстояние от точки B1 до плоскости равно расстоянию до нее от любой точки параллельной ей прямой B1D1. Из точки M — пересечения диагоналей грани в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как, по доказанному в п. а) плоскость следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем Заметим, Таким образом,

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Юг (C часть).
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямой и плоскости, Правильная четырёхугольная призма, Расстояние от точки до плоскости, Сечение — трапеция, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой