СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514480

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

Решение.

а) Пусть O — центр основания пирамиды (рис. 1), тогда

Заметим, что AM : AB = AK : AS, значит, прямые MK и BS параллельны. Кроме того, прямые MN и BC также параллельны, поэтому плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Пусть точки P, Q и R — середины отрезков AD, BC и MN соответственно. Плоскости MNK и SBC параллельны, а плоскость SPQ перпендикулярна прямой BC, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки R до прямой QS. Опустим из точки R перпендикуляр RH на прямую SQ (рис. 2). Тогда

 

Ответ: б)

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг
Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Расстояние от точки до плоскости, Сечение, проходящее через три точки