Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию квад­ра­та длины его сто­ро­ны на синус его угла. С дру­гой сто­ро­ны, пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию длины его ос­но­ва­ния на длину вы­со­ты, опу­щен­ной на это ос­но­ва­ние. Сле­до­ва­тель­но, если сто­ро­на ромба равна a, то Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния по­это­му

Ответ: 8.

При­ве­дем ре­ше­ние Вла­ди­ка Юр­чен­ко.

Пусть ост­рым углом ромба яв­ля­ет­ся угол A. Про­ве­дем вы­со­ту ромба из вер­ши­ны B к сто­ро­не AD и рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH, где точка H  — точка пе­ре­се­че­ния вы­со­ты и сто­ро­ны AD. Угол A равен 30°, сле­до­ва­тель­но, по­сколь­ку катет, ле­жа­щий про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Сле­до­ва­тель­но, В ромбе все сто­ро­ны равны, тогда пло­щадь ромба

Ре­ше­ние. Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра

Длина век­то­ра равна

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вых гра­ней от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше со­от­вет­ству­ю­щих пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней ис­ход­ной приз­мы. По­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Общее ко­ли­че­ство вы­сту­па­ю­щих на фе­сти­ва­ле групп для от­ве­та на во­прос не­важ­но. Сколь­ко бы их ни было, для ука­зан­ных стран есть 6 спо­со­бов вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния среди вы­сту­па­ю­щих (Д  — Дания, Ш  — Шве­ция, Н  — Нор­ве­гия):

Дания на­хо­дит­ся после Шве­ции и Нор­ве­гии в двух слу­ча­ях. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что груп­пы слу­чай­ным об­ра­зом будут рас­пре­де­ле­ны имен­но так, равна

Ответ: 0,33.

За­ме­ча­ние.

Пусть тре­бу­ет­ся найти ве­ро­ят­ность того, что дат­ские му­зы­кан­ты ока­жут­ся по­след­ни­ми среди n вы­сту­па­ю­щих от раз­ных го­су­дарств групп. По­ста­вим ко­ман­ду Дании на по­след­нее место и най­дем ко­ли­че­ство пе­ре­ста­но­вок без по­вто­ре­ний из преды­ду­щих групп: оно равно Общее ко­ли­че­ство пе­ре­ста­но­вок из всех n групп равно По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим с по­мо­щью де­ре­ва воз­мож­ные ис­хо­ды. По­сле­до­ва­тель­ность ис­хо­дов, при­во­дя­щая к со­бы­тию «пер­вый раз синий фло­ма­стер по­явит­ся тре­тьим по счету» вы­де­ле­на оран­же­вым цве­том. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,2.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый, в свою оче­редь, равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A(8; 8), B(8; 1), C(3; 1). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу ACB:

Ответ: 1,4.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­боль­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров и :

Учи­ты­вая то, что время  — не­от­ри­ца­тель­ная ве­ли­чи­на, по­лу­ча­ем Угол на­мот­ки до­стиг­нет зна­че­ния 1200° при t  =  20 мин.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Пусть u км/ч  — соб­ствен­ная ско­рость мо­тор­ной лодки, тогда ско­рость лодки по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость лодки про­тив те­че­ния равна км/ч. На весь путь лодка за­тра­ти­ла (часов), от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, соб­ствен­ная ско­рость лодки равна 11 км/⁠ч.

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку, g(−2)  =  −1, g(−1)  =  −3, g(2)  =  3. Тогда

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му, по­лу­ча­ем: a  =  1, b  =  1, из g(2)  =  3 по­лу­чим c  =  −3. Те­перь найдём абс­цис­су точки B:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: 0.

Ре­ше­ние. а)  Сде­ла­ем за­ме­ну по­лу­чим квад­рат­ное урав­не­ние кор­ня­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся числа и Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, а из урав­не­ния на­хо­дим корни или

б)  Най­дем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку Решим не­ра­вен­ства:

Со­от­вет­ству­ю­щие най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ров корни: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка   — се­ре­ди­на Оче­вид­но, Про­ве­дем Это пря­мая, со­дер­жа­щая сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка так как и про­хо­дит через се­ре­ди­ну Зна­чит, она про­хо­дит и через се­ре­ди­ну

б)  Обо­зна­чим се­ре­ди­ну   — K. Рас­смот­рим плос­кость От­ре­зок BK лежит в ней и в плос­ко­сти по­это­му надо узнать, как от­ре­зок BK делит от­ре­зок   — диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми При этом

Пусть O точка пе­ре­се­че­ния BK и Тогда

По­это­му

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма равно 1 при х  =  4, и боль­ше 1 при про­чих зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной. По­это­му

Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем при­быль за пер­вый год после окон­ча­ния стро­и­тель­ства. При p  =  10 для при­бы­ли по­лу­ча­ем ве­ли­чи­ну или Наи­боль­шее зна­че­ние дан­но­го вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при про­из­вод­стве тыс. ед. про­дук­ции и со­став­ля­ет млн. руб. Про­дол­жая вы­чис­ле­ния для p  =  11, 12 и 13, можно найти при­быль в по­сле­ду­ю­щие годы и убе­дить­ся, что через 4 года общая при­быль со­ста­вит 159 млн. руб.

При­ве­дем ре­ше­ние в чуть более общем виде.

Еже­год­но мак­си­маль­ная при­быль яв­ля­ет­ся наи­боль­шим зна­че­ни­ем квад­ра­тич­ной функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке и равна

Тогда общая при­быль за n пер­вых лет со­ста­вит:

1 год: млн. руб.,

2 год: млн. руб. (общая 60,5 млн руб.),

3 год: млн. руб. (общая 104,5 млн руб.),

4 год: млн. руб. (общая 159 млн руб.).

Таким об­ра­зом, стро­и­тель­ство оку­пит­ся за 4 года.

Ответ: за 4 года.

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — центр боль­шей окруж­но­сти. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку ка­са­ния, по­это­му OA  — диа­метр мень­шей окруж­но­сти.

Точка K лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром OA, зна­чит, ∠AKO = 90°. От­ре­зок OK  — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из цен­тра боль­шей окруж­но­сти на хорду AB. По­это­му K  — се­ре­ди­на AB. Ана­ло­гич­но M  — се­ре­ди­на AC, по­это­му KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые MK и BC па­рал­лель­ны.

б)  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду BC. Тогда H  — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHB на­хо­дим, что

Пусть Q  — центр мень­шей окруж­но­сти. Тогда пря­мые QP и OH па­рал­лель­ны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на OH. Тогда

а из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка APO на­хо­дим, что

От­ре­зок KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му L сре­ди­на AP. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ведём ре­ше­ние Марии Ковалёвой (Москва).

а)  Про­ведём общую ка­са­тель­ную к окруж­но­стям AT, как по­ка­за­но на ри­сун­ке слева. Тогда и по­сколь­ку угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не за­ключённой между ними дуги. Тогда равны Со­от­вет­ствен­ные углы при пе­ре­се­че­нии пря­мых KM и BC равны, по­это­му дан­ные пря­мые па­рал­лель­ны.

б)  По обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов, в тре­уголь­ни­ках AKM и ABC сто­ро­ны KM и BC от­но­сят­ся так же, как ра­ди­у­сы дан­ных в усло­вии окруж­но­стей, то есть как 1 : 2. Сле­до­ва­тель­но, KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, и по тео­ре­ме Фа­ле­са. Оста­лось найти AР.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду BC (см. рис. спра­ва). Тогда H  — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHB на­хо­дим, что

Тре­уголь­ник OAP пря­мо­уголь­ный, так как угол OРA опи­ра­ет­ся на диа­метр. Углы OAP и OPH равны по тео­ре­ме об угле между ка­са­тель­ной и хор­дой. Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки OAP и OPH по­доб­ны по остро­му углу. Имеем: то есть Сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Чи­та­тель, изу­ча­ю­щий углуб­лен­ный курс гео­мет­рии или за­ни­мав­ший­ся в круж­ке, сразу за­ме­тит, что при го­мо­те­тии с цен­тром в точке A и ко­эф­фи­ци­ен­том 2 мень­шая окруж­ность пе­ре­хо­дит в боль­шую, а хорда KM пе­ре­хо­дит в хорду BC. Из этого сразу сле­ду­ет и па­рал­лель­ность прямыx KM и BC, и со­от­но­ше­ние

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Пер­вое не­ра­вен­ство задаёт на плос­ко­сти хОа квад­рат, огра­ни­чен­ный от­рез­ка­ми пря­мых и а не­ра­вен­ство задаёт часть плос­ко­сти выше па­ра­бо­лы с вер­ши­ной (−4; −4), ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Найдём ко­ор­ди­на­ты точки A пе­ре­се­че­ния па­ра­бо­лы с пря­мой

Мень­ший ко­рень со­от­вет­ству­ет точке пе­ре­се­че­ния, ле­жа­щей во вто­рой чет­вер­ти. Для боль­ше­го корня спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства:

по­это­му абс­цис­са точки A лежит на от­рез­ке [−1; 0], а сама точка лежит внут­ри вер­ти­каль­ной по­ло­сы, огра­ни­чен­ной пря­мы­ми x  =  −1 и х  =  0. Тогда ис­ко­мы­ми яв­ля­ют­ся зна­че­ния па­ра­мет­ра, боль­шие ор­ди­на­ты точки  A, но не боль­шие 4. Из урав­не­ния на­хо­дим:

Итак, си­сте­ма будет иметь ре­ше­ния при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  (2, 3), (5, 5), (10, 9), (19, 17).

б)  За­ме­тим, что сумма чисел на доске уве­ли­чи­ва­ет­ся на или (по­сколь­ку число 1 на доске ни­ко­гда не по­явит­ся). Зна­чит, после 49 ходов сумма ста­нет ми­ни­мум По­это­му после пя­ти­де­ся­то­го хода В то же время и по­то­му что левая часть не­чет­на, а пра­вая четна.

в)  После хода раз­ность чисел ста­но­вит­ся равна или По­это­му мо­дуль раз­но­сти чисел ме­ня­ет­ся на 1. Из­на­чаль­но он был равен 1, по­это­му после 2015 ходов он будет чет­ным. Зна­чит, равен как ми­ни­мум двум.

При­ве­дем при­мер. Пер­вым ходом по­лу­чим пару (5; 3), а затем каж­дые два хода будем по­лу­чать си­ту­а­цию, в ко­то­рой числа от­ли­ча­ют­ся на 2 (и ни­ко­гда в про­цес­се не будут равны):

По­вто­ряя эти дей­ствия, по­лу­чим в итоге два числа с раз­но­стью 2.

Ответ: а)  (2, 3), (5, 5), (10, 9), (19, 17); б)  нет; в)  2.