Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 658696
i

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те синус \angle BMC, если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в 2,8 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB в точке N, точка I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Точка I лежит на бис­сек­три­се угла ABC, зна­чит, \angle NBI = 30 гра­ду­сов и BI = 2IN. Сле­до­ва­тель­но, по не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка

BM мень­ше или равно BI плюс IM = 2IN плюс IM,

где от­ре­зок IM = IN  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен r. Сле­до­ва­тель­но, BI = 2r, IM = r, BM = 2,8 r. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BIM по­лу­ча­ем:

ко­си­нус \angle IMB = дробь: чис­ли­тель: IM в квад­ра­те плюс BM в квад­ра­те минус BI в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2IM умно­жить на BM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: r в квад­ра­те плюс 7,84r в квад­ра­те минус 4r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на r умно­жить на 2,8r конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4,84, зна­ме­на­тель: 5,6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1,21, зна­ме­на­тель: 1,4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 121, зна­ме­на­тель: 140 конец дроби .

Таким об­ра­зом,

синус \angle BMC = синус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус \angle BMI пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус \angle IMB = дробь: чис­ли­тель: 121, зна­ме­на­тель: 140 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 121, зна­ме­на­тель: 140 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 658696: 701917 Все

Источники:
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026