В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите 
если известно, что отрезок ВМ в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
а) Пусть окружность касается стороны в точке N, точка I — центр вписанной окружности. Точка I лежит на биссектрисе угла ABC, значит, 
и 
Тогда по неравенству треугольника
где IM = IN — радиус окружности. Что и требовалось доказать.
б) Пусть радиус вписанной окружности равен r. Тогда 
По теореме косинусов для треугольника BIM получаем:
Таким образом,
Ответ: б) 