Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу окруж­но­сти, зна­чит,

Ответ: 98.

Ре­ше­ние. Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно:

Ответ: 63.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­та оста­лась преж­ней, сле­до­ва­тель­но, объем умень­шил­ся в 4 раза.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме «Cтраны Аф­ри­ки», равна

Ответ: 0,3.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим со­бы­тия

Тогда

По усло­вию P(A)  =  P(B)  =  0,1; P(A·B)  =  0,03.

Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,17  =  0,83.

Ответ: 0,83.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те, равна 1 − 0,1  =  0,9. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те, равна 1 − 0,1  =  0,9. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те равна 1 − 0,03  =  0,97. По­сколь­ку P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,97  =  0,9 + 0,9 − х, от­ку­да ис­ко­мая ве­ро­ят­ность х  =  0,83.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B)  =  0,1·0,1  =  0,01, од­на­ко, по усло­вию, эта ве­ро­ят­ность равна 0,03.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Убы­ва­нию диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют не­по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния её про­из­вод­ной. Про­из­вод­ная не­по­ло­жи­тель­на в точ­ках x₁, x₂ x₅ x₇ x₈ x₉: точки лежат ниже оси абс­цисс, их ор­ди­на­ты от­ри­ца­тель­ны. Таких точек 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Най­дем, за какое время, про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, ав­то­мо­биль про­едет 90 мет­ров:

Зна­чит, через 6 се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния ав­то­мо­биль про­едет 90 мет­ров.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пусть u км/ч  — ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, тогда ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да по те­че­нию равна u + 2 км/ч. Пер­вый теп­ло­ход на­хо­дил­ся в пути на 2 часа боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 12 км/ч.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что сле­до­ва­тель­но,

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му, на­хо­дим: a  =  1, b  =  −3, c  =  2. Тогда

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма x  =  7,5.

Ответ: 7,5.

Ре­ше­ние. а)  Пе­рейдём к си­сте­ме

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни на от­рез­ке По­лу­чим число

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость AB₁M и пря­мая A₁N пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Рас­смот­рим се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AA₁N: точка N₁  — се­ре­ди­на сто­ро­ны B₁C₁, по­это­му от­ре­зок NN₁ па­рал­ле­лен ребру AA₁, точка N₁ лежит в плос­ко­сти AA₁N.

Обо­зна­чим P точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан AN₁ и B₁M. По свой­ству ме­ди­ан Тогда тре­уголь­ни­ки A₁PK и NAK по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Сле­до­ва­тель­но,

б)  Удво­им от­ре­зок В₁N, про­длив его за точку N до пе­ре­се­че­ния с пря­мой СС₁ в точке С₂. Ясно, что C₁С₂  =  2C₁C. Пи­ра­ми­ды NAMB₁ и С₂AMB₁ имеют общее ос­но­ва­ние AMB₁, а их вы­со­ты, про­ве­ден­ные к этому ос­но­ва­нию из точек N и С₂ со­от­вет­ствен­но, от­но­сят­ся как 1 : 2. Сле­до­ва­тель­но,

где h  — вы­со­та, про­ве­ден­ная к плос­ко­сти С₂AM из точки B₁.

Ясно, что эта вы­со­та  — от­ре­зок B₁M, по­сколь­ку пря­мая B₁M пер­пен­ди­ку­ляр­на пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым A₁C₁ и AC, ле­жа­щим в плос­ко­сти С₂AM, а зна­чит, пер­пен­ди­ку­ляр­на и самой этой плос­ко­сти. Таким об­ра­зом,

Чтобы найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка С₂AM, вы­чтем из пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и по­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

б)  За­ме­тим, что:

Из фор­му­лы объ­е­ма где h  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка B₁MC₁, про­ве­ден­ная из точки M, вы­ра­зим вы­со­ту: Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка B₁NCC₁:

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды AMNB₁ равен

При­ве­дем ре­ше­ние ме­то­дом ко­ор­ди­нат (Алек­сандр Тур­ба­нов, Ли­пецк).

а)  Введём пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке A, на­пра­вим ко­ор­ди­нат­ные оси, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть и опре­де­лим ко­ор­ди­на­ты точек:

Плос­кость AMB₁ про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, по­это­му ее урав­не­ние имеет вид Под­став­ляя в урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точек M и B₁, по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом,

Пусть точка Q делит от­ре­зок A₁N в от­но­ше­нии 2 : 3, и опре­де­лим ее ко­ор­ди­на­ты:

то есть Про­ве­рим, что точка Q при­над­ле­жит плос­ко­сти AMB₁. Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты точки в урав­не­ние плос­ко­сти, по­лу­чим вер­ное ра­вен­ство:

Сле­до­ва­тель­но, плос­кость AMB₁ делит от­ре­зок A₁N в от­но­ше­нии 2 : 3.

б)  Для вы­чис­ле­ния объ­е­ма пи­ра­ми­ды при­ме­ним фор­му­лу

Из усло­вия сле­ду­ет, что и Урав­не­ние плос­ко­сти AMB₁ при­ни­ма­ет вид то есть Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, най­дем по фор­му­ле:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁M по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим: В тре­уголь­ни­ке A₁B₁M най­дем

Пря­мая B₁M пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ACC₁, по­это­му пер­пен­ди­ку­ляр­на и пря­мой AM. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AB₁M пря­мо­уголь­ный. Найдём его пло­щадь:

Таким об­ра­зом,

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное не­ра­вен­ство:

от­ку­да или

Ре­ше­ние ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) на июль каж­до­го года дол­жен умень­шать­ся до нуля сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

По усло­вию, в ян­ва­ре каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15%, зна­чит, долг в ян­ва­ре каж­до­го года равен:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года со­став­ля­ют:

По усло­вию, сумма вы­плат долж­на быть мень­ше 50 млн руб­лей.

Наи­боль­шее целое ре­ше­ние этого не­ра­вен­ства  — число 36. Зна­чит, ис­ко­мый раз­мер кре­ди­та  — 36 млн руб­лей.

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. а)  Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны в точке N, точка I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Точка I лежит на бис­сек­три­се угла ABC, зна­чит, и Тогда по не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка

где IM  =  IN  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен r. Тогда По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BIM по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Урав­не­ние рав­но­силь­но сле­ду­ю­щей си­сте­ме:

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай, когда корни сов­па­да­ют: Тогда ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] и удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда пер­вый ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] и удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Тогда урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на за­дан­ном от­рез­ке, если вто­рой ко­рень не при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] или не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Имеем:

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда вто­рой ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] и удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Тогда урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на за­дан­ном от­рез­ке, если пер­вый ко­рень не при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] или не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Имеем:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Урав­не­ние рав­но­силь­но сле­ду­ю­щей си­сте­ме:

В плос­ко­сти xOa гра­фи­ком си­сте­мы (а зна­чит, и гра­фи­ком ис­ход­но­го урав­не­ния) будут от­рез­ки пря­мых и ле­жа­щие внут­ри круга, огра­ни­чен­но­го окруж­но­стью

Ре­ше­ние си­сте­мы на от­рез­ке [4; 8] на ри­сун­ке изоб­ра­же­но синим цве­том.

Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра a (зна­че­ния ор­ди­на­ты), при ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на от­рез­ке [4; 8].

Для этого найдём ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния пря­мых и

Ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и окруж­но­сти найдём, под­ста­вив в урав­не­ние окруж­но­сти

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет на от­рез­ке [4; 8] ровно один ко­рень при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, по­дой­дет набор 1, 2, 3, 7, 14. В самом деле,

по­это­му можно по­лу­чить любой вес от 0 до 6. До­бав­ляя к ним 7, 14 или по­лу­чим также веса от 7 до 13, от 14 до 20, от 21 до 27.

б)  Нет. За­ме­тим, что есть всего 16 спо­со­бов вы­брать какие-то гири из че­ты­рех (вклю­чая «не брать ни­че­го»). Дей­стви­тель­но, каж­дую гирю можно либо взять, либо не взять, это дает два ва­ри­ан­та для каж­дой гири, а всего ва­ри­ан­тов. По­это­му можно по­лу­чить не более 15 раз­лич­ных сум­мар­ных весов, а нужно 25.

в)  Рас­суж­де­ния, ана­ло­гич­ные пунк­ту б), по­ка­зы­ва­ют, что пять гирь дадут не более 31 раз­лич­ной суммы. Если взять гири 1, 2, 4, 8, 16, то как раз по­лу­чат­ся суммы от 1 до 31. (Это ста­нет оче­вид­ным, если за­пи­сать числа от 1 до

в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния, и вы­би­рать гири, со­от­вет­ству­ю­щие нуж­ным сте­пе­ням двой­ки.)

Ответ: а)  да, на­при­мер по­дой­дет набор 1, 2, 3, 7, 14; б)  нет; в)  31.