Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходит через через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что sin
AOC = 
Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.
а) Так как AO — диаметр, а AM — хорда, то 
значит, 
AO пересекает большую окружность в P, AP — диаметр, тогда 
откуда 
Поскольку 
и 
то 
что и требовалось доказать.
б) Так как 
— центральный, то 
значит, 
— соответственные углы. Поскольку 
— биссектриса 
тогда по свойству биссектрисы
Ответ: б) 