а)  Тре­уголь­ни­ки BCE и CDK равны по двум ка­те­там, сле­до­ва­тель­но,

то есть пря­мая BE пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CK. Тогда в четырёхуголь­ни­ке ABOK: ∠BAK = ∠BOK  =  90°. По­это­му во­круг него можно опи­сать окруж­ность.

б)  Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме

Урав­не­ние пря­мой KC: урав­не­ние пря­мой BE: Ко­ор­ди­на­ты точки O найдём из си­сте­мы урав­не­ний

Тогда рас­сто­я­ние между и равно

Ответ: б) 1.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние п. а).

По­вернём тре­уголь­ник BCE на 90° по ча­со­вой стрел­ке и па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом сов­ме­стим точку B с точ­кой C. Тогда тре­уголь­ник BCE на­ло­жит­ся на CKD, пря­мая BE сов­па­дет с пря­мой CK. По­сколь­ку после по­во­ро­та пря­мые сов­па­ли, до по­во­ро­та угол между ними был 90°.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние п. б).

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BCE и BAK равны по двум ка­те­там, зна­чит, то есть на хорды AO и AB опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка ABOK окруж­но­сти опи­ра­ют­ся рав­ные углы. Таким об­ра­зом,

При­ведём ре­ше­ние п. б) Ан­дрея Плю­хи­на.

Про­дол­жим от­ре­зок CK до точки F пе­ре­се­че­ния с пря­мой AB. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KDC и KAF равны по ка­те­ту и остро­му углу, по­это­му AF  =  ВС  =  1, а точка A  — се­ре­ди­на BF.

Точка O при­над­ле­жит окруж­но­сти с цен­тром в точке A и диа­мет­ром BF, по­сколь­ку эта точка  — вер­ши­на пря­мо­го угла, стя­ги­ва­ю­ще­го диа­метр BF. Сле­до­ва­тель­но, AO  =  AB  =  AF  =  1  — ра­ди­ус этой окруж­но­сти.

Вто­рой абзац этого ре­ше­ния можно за­ме­нить таким рас­суж­де­ни­ем: из суммы углов по­лу­ча­ем, что угол FOB пря­мой, сле­до­ва­тель­но, АО яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка и равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы.

При­ведём ре­ше­ние Де­ни­са Чер­ны­ше­ва (Тю­мень).

а)  Во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы про­ти­во­ле­жа­щих углов равны 180°. По усло­вию ABCD  — квад­рат, в нем угол А пря­мой. До­ка­жем, что угол KOB пря­мой. Имеем:

Зна­чит,

Сто­ро­ны квад­ра­та равны, по­это­му Зна­чит, ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно нулю, а тогда

б)  Не­об­хо­ди­мо найти мо­дуль век­то­ра За­пи­шем его в виде

где По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка DCK на­хо­дим:

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DCK и OCE по­доб­ны, по­сколь­ку имеют общий ост­рый угол. Зна­чит, от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но,

Под­ста­вим най­ден­ный ко­эф­фи­ци­ент x в вы­ра­же­ние для век­то­ра по­лу­чим:

Тогда