Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 517469

Две окружности с центром O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.

б) Найти AD, если \angle DAE=\angle BAC, радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 2.

Спрятать решение

Решение.

 

а) Заметим, что AB\bot O_1O_2, так как линия центров O_1O_2 содержит биссектрисы равнобедренных треугольников AO_1B и AO_2B.

Тогда \angle AO_1O_2= дробь: числитель: \angle AO_1B, знаменатель: 2 конец дроби =\angle ACB и \angle AO_2O_1= дробь: числитель: \angle AO_2B, знаменатель: 2 конец дроби =\angle ADB. Значит, \vartriangle CBD \sim \vartriangle O_1AO_2 по двум углам.

б) Из равенства углов \angle AO_1O_2=\angle ACB, следует параллельность прямых: CE || O_1O_2. Поэтому, учитывая, что AB\bot O_1O_2, получаем: AB\bot CE. Значит, \angle ABE=90 градусов, а AE — диаметр окружности.

Равнобедренные треугольники AO_1B и AO_2D подобны, поскольку

\angle O_1BA=\angle O_1AB=\angle BAC=\angle DAE=\angle O_2AD=\angle O_2DA.

Значит,  дробь: числитель: AD, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: AO_2, знаменатель: AO_1 конец дроби , откуда AD= дробь: числитель: AO_2, знаменатель: AO_1 конец дроби умножить на AB=8.

 

Ответ: 8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 517462: 517469 517531 517667 Все

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 402 (C часть).